Faktorisering av polynom

Tidigare har vi stött på metoden faktorisering, som används för att skriva om matematiska uttryck, och i ett tidigare avsnitt använde vi oss av polynommultiplikation för att beräkna produkten av två polynom.

Studera följande exempel på polynommultiplikation:

$$x\cdot(x+4)=0 $$

Vi multiplicerar som vanligt:

$$ x^{2}+4x=0$$

Att faktorisera ett polynomuttryck innebär att vi gör detta omvänt, alltså "åt andra hållet". Genom att identifiera det som är gemensamt för alla termer så kan vi "bryta ut" detta. Vi kan bryta ut hur mycket som helst, så länge som det är gemensamt för alla termer i uttrycket, det vill säga att alla termer är jämnt delbara med det. Detta är alltså vad vi kallar för faktorisering - vi bryter ut en faktor och skriver uttrycket som en produkt.

Det finns flera anledningar till varför man kan vilja faktorisera ett uttryck. En vanlig anledning är att man försöker att hitta en funktions nollställen, vilket kan vara lättare om man har faktoriserat uttrycket, eftersom man då kan använda nollproduktmetoden. En annan vanlig anledning till att man faktoriserar ett uttryck är att man försöker att förenkla ett komplicerat uttryck som till exempel det här:

$$\frac{x^{2}+2x}{x}$$

Vad vi vill göra i det här läget är att skriva om täljaren på något sätt, så att vi kan förkorta båda täljaren och nämnaren. Efter faktorisering, där vi bryter ut faktorn x i täljaren, får vi

$$ \frac{x\cdot(x+2)}{x}$$

Detta uttryck kan sedan förenklas till

$$ x+2$$

eftersom x nu finns som en faktor i täljaren och även i nämnaren.

Vilken faktor som är lämplig att bryta ut ur ett uttryck beror på vad man försöker göra. Om vi till exempel försöker att förenkla ett uttryck där nämnaren är

$$x+1$$

kan det vara en god idé att se om man kan bryta ut en motsvarande faktor ur täljaren.

Det här kan vara lättare att förstå genom följande exempel

$$6x^{2}-x=0 \Rightarrow \left \{ 6x^{2} \: och \: x \: är \: delbara \: med \: x \right \}$$

$$\Rightarrow x(6x-1) = 0$$

$$4x^{2}-2x^{3}=0 \Rightarrow \left \{ 4x^{2} \: och \: 2x^{3} \: är \: delbara \: med \: 2x^{2} \right \}$$

$$\Rightarrow 2x^{2}(2-x)=0$$

När man har ett uttryck som man försöker faktorisera kan det vara bra att komma ihåg några av de räkneregler vi stött på tidigare så som kvadreringsreglerna och konjugatregeln.

Vi går vidare med ett räkneexempel där vi ser hur vi kan använda en av dessa regler för att faktorisera ett polynomuttryck.

Förenkla uttrycket

$$ \frac{x^{3}-4x}{x+2}$$

Vi faktoriserar täljaren:

$$\frac{x^{3}-4x}{x+2}=$$

$$=\frac{x(x^{2}-4)}{x+2}$$

Här har vi funnit den gemensamma faktorn x i båda termerna i täljaren och därför brutit ut den. Hur kan vi nu komma vidare? Jo, om vi tittar på täljaren så innehåller den faktorn

$$x^{2}-4$$

Nu kan vi skriva om denna faktor och använda konjugatregeln

$$x^{2}-2^{2} = (x+2)(x-2)$$

Med hjälp av denna faktorisering med konjugatregeln kan vi skriva om hela uttrycket så här

$$\frac{x(x^{2}-4)}{x+2}= $$

$$= \frac{x\cdot(x+2)\cdot(x-2)}{x+2}$$

Nu har vi ett uttryck som vi kan förenkla genom att förkorta med (x+2). Vi får slutligen

$$\frac{x\cdot(x+2)\cdot(x-2)}{x+2}=$$

$$= x\cdot(x-2)$$

Vi ska nu visa med ett till exempel hur vi kan använda någon av kvadreringsreglerna för att faktorisera ett polynomuttryck, 

$$5x^3+20x^2+20x$$

Vi faktoriserar uttrycket genom att bryta ut så mycket som möjligt, i detta fall kan vi upptäcka att alla termer innehåller ett x och ett tal som är en multipel av 5, därför kan vi bryta ut 5x som största gemensamma faktor

$$5x(x^2+4x+4)$$

Nu använder vi en av kvadreringsreglerna för att skriva om parantesen så här

$$5x{\left(x+2\right)}^2$$

Sen går det inte att faktorisera vidare, så vi är klara.

Men hur gör vi om vi inte kan bryta ut någon gemensam faktor, inte kan använda konjugatregeln eller någon av kvadreringsreglerna? Då kan vi som nästa verktyg använda pq-formeln och hitta rötterna till andragradspolynom. Sen tidigare vet vi att om vi t.ex. får ut rötterna x₁ = -3 och x₂= 4 så kan vi skriva om andragradspolynomet som faktorerna (x+3)(x-4)=0

Vi avslutar med ett exempel på detta, ett polynom som vi sätter till lika med 0 för att hitta dess rötter och därmed kunna faktorisera polynomet

$$x^2-6x-7$$

$$x^2-6x-7=0$$

Vi tar fram rötterna med hjälp av pq-formeln med p= -6 och q= -7

$$x=- \frac{-6}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{6}{2}\right)}^2-(-7)}$$

$$x = \frac{6}{2}\pm \sqrt{9+7}$$

$$x = 3 \pm \sqrt{16}$$

$$x_1 = 7$$

$$x_2 = -1$$

Nu kan vi faktorisera polynomet genom att skriva rötterna på den här formen (x-x₁)(x-x₂)

$$x^2-6x-7=(x-7)(x+1)$$

Vi kontrollerar att detta stämmer genom att multiplicera ihop parenteserna

$$(x-7)(x+1)= x^2+1x-7x-7= x^2-6x-7$$

Vilket var polynomet vi började med, så vår faktorisering stämmer

Sammanfattningsvis så kan faktorisera polynom genom att:

• Bryta ut gemensamma faktorer
• Använda konjugatregeln
• Använda kvadreringsreglerna
• Använda pq-formeln och rötterna