Faktorisering

I tidigare avsnitt har vi bekantat oss med polynom och hur det går till då vi utför multiplikation av polynom. Vi har även lärt oss användbara regler för tre specialfall av polynommultiplikation: första och andra kvadreringsreglerna, och konjugatregeln.

I det här avsnittet ska vi titta närmare på faktorisering av polynom, ett begrepp som vi har stött på i den förra kursen, i avsnittet om parenteser och variabler.

Vi kan se faktorisering av ett polynom som så att vi går "åt andra hållet" jämfört med om vi skulle multiplicera två polynom. Vid faktorisering utgår vi nämligen från ett polynom och ska skriva det som en produkt av två andra polynom (faktorer).

När vi faktoriserar ett polynom skriver vi om polynomet så att det blir en produkt av minst två faktorer. Att kunna skriva ett polynom på denna form är användbart bland annat när vi ska lösa andragradsekvationer, vilket vi kommer till i ett senare avsnitt i den här kursen.

Faktorisering genom att bryta ut en faktor i taget

Vi ska börja med att titta på den enklaste typen av faktorisering, nämligen den där vi bryter ut en faktor i taget ur ett uttryck.

Låt oss titta på ett enkelt exempel

$$3x+6=3\cdot x+3\cdot 2=3\cdot (x+2)$$

I exemplet ovan bröt vi ut en faktor 3 ur de båda termerna i polynomet 3x + 6. Därmed kunde vi skriva om det ursprungliga polynomet 3x + 6 som en produkt av de båda polynomen 3 (ett nolltegradspolynom, eftersom det saknar variabelterm) och x + 2 (ett förstagradspolynom).

Vilken faktor som är lämplig att bryta ut ur ett uttryck beror på vad vi försöker åstadkomma. Det kan ibland vara svårt att direkt se vilka faktorer som kan vara gemensamma för termerna i ett uttryck. Ett bra tips i sådana situationer kan dock vara att påminna sig om reglerna för delbarhet som vi gick igenom i den förra kursen, så att vi vet lite vad vi ska leta efter. I vårt exempel ovan såg vi att de båda termerna var delbara med 3, så att bryta ut 3:an ur de båda termerna var alltså något som vi kunde göra, om vårt mål var att faktorisera uttrycket så långt det gick.

Om vi har en uppgift med stora tal inblandade, då kan vi använda oss av primtalsfaktorisering av talen för att hitta gemensamma faktorer som kan brytas ut, men ofta är det inte nödvändigt att gå så långt.

När du ska faktorisera, börja då med att försöka hitta något som är gemensamt för alla termerna i uttrycket. Det kan vara att alla innehåller samma variabel, till exempel x, eller att alla har jämna konstanttermer (delbara med 2). Sedan bryter vi ut den gemensamma faktorn som vi har hittat. Så kan vi sedan hålla på, en faktor i taget, tills vi inte kan hitta fler faktorer att bryta ut.

Vi tittar på ytterligare ett exempel, där vi har ett polynom av gradtal 3 som vi ska faktorisera så långt det går

$$4x^{2}-8x+6x^{3}$$

Här börjar vi med att söka någonting som är gemensamt för alla de tre termerna. Vi kan se att samtliga tre termer innehåller en faktor x, vilket gör att vi kan börja med att bryta ut x:

$$4x^{2}-8x+6x^{3}=$$

$$=x\cdot 4x-x\cdot 8+x\cdot 6x^{2}=$$

$$=x\cdot (4x-8+6x^{2})$$

Nu har vi brutit ut en faktor, vilket gör att det ursprungliga polynomet nu är skrivet som en produkt av polynomen x och (4x - 8 + 6x²).

Kan vi faktorisera detta uttryck ytterligare? Vi tittar nu enbart på parentesuttrycket, eftersom det inte finns så mycket att bryta ut ur det ensamma x som står framför parentesen. Då ser vi att alla ingående termer i parentesuttrycket är jämnt delbara med 2, vilket gör att vi kan bryta ut en 2:a ur parentesen. Gör vi det så får vi:

$$x\cdot (4x-8+6x^{2})=$$

$$=x\cdot (2\cdot 2x-2\cdot 4+2\cdot 3x^{2})=$$

$$=x\cdot 2\cdot (2x-4+3x^{2})=$$

$$=2x\cdot (2x-4+3x^{2})$$

Nu har vi alltså genom faktorisering gjort så att uttrycket utgörs av en produkt av polynomen 2x och 2x - 4 + 3x². Om vi åter tittar på uttrycket inom parentesen så ser vi att det nu består av tre termer utan någon ytterligare gemensam faktor som vi kan bryta ut. Det innebär att vi nu har faktoriserat vårt uttryck så långt vi kan med den här metoden.

Vi kom alltså genom faktorisering fram till att dessa är två sätt som vi kan skriva samma uttryck:

$$4x^{2}-8x+6x^{3}=2x\cdot (2x-4+3x^{2})$$

Faktorisering med hjälp av kvadreringsreglerna och konjugatregeln

Som vi såg tidigare i detta avsnitt kan vi ofta faktorisera uttryck genom att bryta ut en faktor i taget ur uttrycket. Dock är det inte alltid tillräckligt, vilket vi snart ska se, varför det kan vara bra att känna igen kvadreringsreglerna och konjugatregeln och kunna använda dessa när vi ska faktorisera uttryck.

Vi tittar på ett exempel, där nyttan av dessa regler blir tydlig

Om vi ska faktorisera följande binom

$$x^{2}-9$$

så ser vi direkt att vi inte kan bryta ut någon faktor som är gemensamt för de båda termerna - den första termen är ju en variabelterm med 1 som koefficient, medan den andra termen är en ren konstantterm. Att bryta ut en 1:a är inte meningsfullt i det här sammanhanget, så det låter vi bli att göra.

Däremot kan, vi om vi kommer ihåg konjugatregeln, se att vi kan faktorisera uttrycket så här:

$$x^{2}-9$$

$$=x^{2}-3^{2}$$

$$=(x+3)(x-3)$$

På samma sätt kan vi använda oss av att vi känner igen kvadreringsreglerna när vi ska faktorisera uttryck som det här nedanför:

$$x^{2}+10x+25$$

$$=x^{2}+2\cdot 5\cdot x+5^{2}$$

$$=(x+5)^{2}$$

Här använde vi oss alltså av den första kvadreringsregeln.