Rationella uttryck

När vi har två polynom och dessa bildar en kvot, då kallas den uppställningen för ett rationellt uttryck.

Här kommer tre exempel på rationella uttryck

$$\frac{6x+2}{3x}$$

$$\frac{5x^2+2x}{x+6} $$

$$\frac{x+7}{x^2-5x}$$

I det första exemplet bildas en kvot mellan 6x+2 i täljaren och 3x i nämnaren; i det andra exemplet bildas en kvot mellan 5x²+2x i täljaren och x+6 i nämnaren. I det tredje exemplet bildas en kvot mellan x+7 i täljaren och x²-5x i nämnaren. 

Rationella uttryck har liknande egenskaper som bråk och på samma sätt som för ett bråk är det viktigt att nämnaren inte har värdet noll, eftersom division med noll inte är definierat. I ett vanligt bråk är det ofta lätt att se om nämnaren är noll. När vi har ett polynom i nämnaren kan det vara så att nämnaren blir noll för vissa värden på en ingående variabel, men inte för andra värden på denna.

I det första exemplet ovan får x inte anta värdet 0.

$$\frac{6x+2}{3x}$$

$$3x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 $$

I det andra exemplet ovan får x inte anta värdet -6

$$\frac{5x^2+2x}{x+6} $$

$$x+6\neq 0\Rightarrow x\neq -6$$

I det tredje exemplet får vi undersöka lite mer

$$\frac{x+7}{x^2-5x}$$

Vi vet till en början att nämnaren får inte bli 0, men behöver sen faktorisera uttrycket. 

$$x^2-5x=0$$

Vi börjar med att bryta ut x då det är den största gemensamma faktorn

$$x(x-5)=0$$

Enligt nollproduktsmetoden får vi alltså

$$x_1= 0 \text{ och } x_2 = 5$$

Detta ger oss att det rationella uttrycket är ej definierat då x = 0 och x = 5.

Förkorta/förlänga rationella uttryck

Vi kan förkorta eller förlänga rationella uttryck på samma sätt som vi kan förkorta eller förlänga bråk, vilket vi lärde oss i Matte 1.

Vi har tidigare i den här kursen sett att vi kan faktorisera polynom. En vanlig anledning till att vi vill faktorisera ett polynom i ett rationellt uttryck är att vi vill försöka förkorta uttrycket som helhet.

Ett exempel på detta är om vi försöker förkorta det här rationella uttrycket

$$\frac{x^{2}+2x}{x}$$

Täljaren kan vi faktorisera på så sätt att vi bryter ut faktorn x, som ju är gemensam för de båda termerna i täljaren. Gör vi det så får vi det här rationella uttrycket:

$$\frac{x\cdot (x+2)}{x}$$

Utifrån uttrycket ovan ser vi att x nu är en faktor i såväl täljaren som nämnaren och därför kan förkortas. Vi delar då både täljaren och nämnaren med den faktor som vi vill förkorta med (i det här fallet x) och kvar blir uttrycket

$$x+2$$

som motsvarar det rationella uttryck som vi började med, men skrivet i förenklad form.

När vi har förkortat ett uttryck så långt att vi inte kan förkorta det mer, då är uttrycket skrivet i sin enklaste form. I exemplet ovan kan vi inte förkorta x+2 mer - därför är alltså uttrycket skrivet i sin enklaste form.

Ibland kan vi vilja förlänga ett rationellt uttryck.

Då vi förlänger ett rationellt uttryck gör vi på ett liknande sätt som när vi förkortar - men i omvänd ordning. Istället för att dividera både täljaren och nämnaren med en gemensam faktor så multiplicerar vi täljaren och nämnaren med en gemensam faktor.

Ett exempel på en sådan situation är om vi har ett uttryck som består av en summa av flera rationella uttryck. Då kan vi vilja skriva dem på ett gemensamt bråkstreck och därför vilja att alla uttrycken har samma nämnare. Lite senare ska vi se ett exempel på just det.

Vi börjar med ett räkneexempel där vi har följande rationella uttryck:

$$\frac{x+1}{x}$$

Om vi vill förlänga det här uttrycket med en faktor x, då går det till så här:

$$\frac{x+1}{x}=$$

$$=\frac{x\cdot (x+1)}{x\cdot x}=$$

$$=\frac{x^{2}+x}{x^{2}}$$

Vi multiplicerar alltså både hela täljaren och hela nämnaren med x. Vårt uttryck har nu skrivits om så att det har nämnaren x² istället för x.

Vi tittar på ett exempel med där vi vill förlänga rationella uttryck i en ekvation

$$\frac{4}{s^2-4} = \frac{1}{s-2}$$

Vi använder konjugation regeln och kan då faktorisera \((s^2-4)= (s+2)(s-2)\) och eftersom den andra nämnaren är  \((s-2)\) blir minsta gemensamma nämnaren \((s+2)(s-2)\), så vi multiplicerar alla termer med detta.

$$\frac{4(s+2)(s-2)}{s^2-4} = \frac{(s+2)(s-2)}{s-2}$$

$$4 = s+2$$

$$4-2=s+2-2$$

$$s=2$$

Addera/subtrahera rationella uttryck

När vi adderar och subtraherar rationella uttryck gäller samma regler som när vi adderar och subtraherar bråk. Har de rationella uttrycken samma nämnare så kan vi skriva dem på ett gemensamt bråkstreck, och addera eller subtrahera täljarna direkt.

Har de rationella uttrycken däremot olika nämnare så får vi först skriva om uttrycket, så att de har samma nämnare. Nyss såg vi att vi kan skriva om rationella uttryck genom att förkorta eller förlänga dem. Det är metoder som nu kommer till användning.

Vi tittar på ett räkneexempel där vi är i just den situationen. Vi har ett uttryck som ser ut så här:

$$\frac{x+1}{x}+\frac{x-2}{x^{2}}$$

Den första termen träffade vi på i det förra exemplet. De båda termerna i summan, två rationella uttryck, har olika nämnare. Därför kan vi inte direkt addera dessa uttryck - först får vi skriva om det ena uttrycket, så att de får samma nämnare.

Tidigare har vi sett att

$$\frac{x+1}{x}$$

kan förlängas med x, så att det kan skriva som

$$\frac{x^{2}+x}{x^{2}}$$

När vi nu har förlängt detta rationella uttryck, har båda termerna i den ursprungliga summan samma nämnare, x². Då kan vi skriva dem på ett gemensamt bråkstreck och addera täljarna:

$$\frac{x^{2}+x}{x^{2}}+\frac{x-2}{x^{2}}$$

$$=\frac{x^{2}+x+x-2}{x^{2}}$$

$$=\frac{x^{2}+2x-2}{x^{2}}$$

Vi har nu fått ett enda rationellt uttryck (med nämnaren x²) istället för en summa av två rationella uttryck med olika nämnare (x respektive x²).

Hur skulle det bli om vi istället hade till uppgift att subtrahera de båda rationella uttrycken i exemplet ovan? Efter förlängningen av det första rationella uttrycket, hade det istället blivit så här:

$$\frac{x^{2}+x}{x^{2}}-\frac{x-2}{x^{2}}$$

$$=\frac{x^{2}+x-(x-2)}{x^{2}}$$

$$=\frac{x^{2}+x-x+2)}{x^{2}}$$

$$=\frac{x^{2}+2}{x^{2}}$$

Vi tittar på ett till exempel hur vi adderar och subtraherar ett rationellt uttryck

$$\frac{4}{2x} + \frac{3}{3x} - \frac{2}{4x} $$

Minsta gemensamma nämnare (mgn) för 2x, 3x och 4x är 12x. Så det är den nämnare vi vill se till att få på alla tre uttryck. Därför förlänger vi alla termer så vi får 12x i nämnaren. 

$$\frac{6\cdot 4}{6\cdot 2x} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 3x} - \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 4x} $$

Därefter skriver vi uttrycket på ett gemensamt bråkstreck och sist förkortar vi de faktorer som vi kan.

$$\frac{24+12-6}{12x}$$

$$\frac{30}{12x}$$

$$\frac{30/6}{12x/6}$$

$$\frac{5}{2x}$$

Nu kan vi inte förkorta mer då 5 och 2x inte har någon gemensam faktor.

Om vi istället tittar på ett exempel där vi löser en ekvation med nämnare,

$$\frac{-3x}{6} + \frac{6x-3}{4} + \frac{3}{6} = 0$$

Vi tar reda på minsta gemensamma nämnare (MGN), i detta exempel för 6 och 4 blir det 12 och multiplicerar alla termer med detta så vi kan förkorta bort alla nämnare.

$$\frac{12\cdot(-3x)}{6} + \frac{12\cdot(6x-3)}{4}+ \frac{12\cdot 3}{6} = 0\cdot 12$$

$$2\cdot (-3x) + 3(6x-3) + 2\cdot 3 = 0$$

$$-6x+18x-9+6=0$$

$$12x-3=0$$

$$12x-3+3=3$$

$$x=\frac{3}{12}$$

$$x=\frac{1}{4} (=0,25)$$

Hur vet vi då om vi ska förkorta eller förlänga ett rationellt uttryck, och i så fall med vilken faktor? Jo, det beror på vad vi försöker uppnå. I det förra exemplet ovan såg vi att det vore bra att ha samma nämnare, x², i hela uttrycket eftersom vi ville addera uttrycken. Det kunde vi göra om det första rationella uttrycket förlängdes (multiplicerades) med en faktor x. I andra situationer kan det vara andra faktorer som är mer lämpliga att förlänga eller förkorta med.

Multiplicera/dividera rationella uttryck

Även vad gäller multiplikation och division av rationella uttryck så gäller samma räkneregler som för multiplikation och division av bråk.

När vi ska multiplicera två rationella uttryck med varandra så multiplicerar vi täljarna för sig och nämnarna för sig.

Ett exempel på multiplikation av rationella uttryck:

$$\frac{x+1}{3}\cdot \frac{x^{2}+2}{x-2}=$$

$$=\frac{(x+1)\cdot (x^{2}+2)}{3\cdot (x-2)}=$$

$$=\frac{x^{3}+2x+x^{2}+2}{3x-6}=$$

$$=\frac{x^{3}+x^{2}+2x+2}{3x-6}$$

När vi ska dividera två rationella uttryck med varandra gör vi också på samma sätt som när vi dividerar två bråk med varandra.

Detta går till så att vi multiplicerar täljaren med inversen av nämnaren. När vi i Matte 1-kursen räknade med division av bråk stötte vi på just följande formel, som också gäller för division av rationella uttryck:

$$\frac{\left ( \frac{a}{b} \right )}{\left ( \frac{c}{d} \right )}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$$

Låt oss titta på ett exempel på division av rationella uttryck, så att vi kan se hur det kan fungera:

$$\frac{\left ( \frac{3}{2x+2} \right )}{\left ( \frac{x}{x+1} \right )}=\frac{3\cdot (x+1)}{(2x+2)\cdot x}$$

I just det här fallet behöver vi inte sluta här, eftersom vi kan förenkla uttrycket ytterligare. Vi kan faktorisera den första faktorn i nämnaren ett steg till och sedan förkorta uttrycket:

$$\frac{3\cdot (x+1)}{(2x+2)\cdot x}=$$

$$=\frac{3\cdot (x+1)}{2\cdot (x+1)\cdot x}=$$

$$=\frac{3}{2x}$$

Här nedan tittar vi på ett exempel då vi både dividerar och multiplicerar ett rationellt uttryck 

$$\frac{x^2-1}{18x^2} \cdot \frac{6x}{x-1}$$

Vi börjar med att multiplicera ihop de båda täljarna och de båda nämnarna.

$$\frac{(x^2-1)6x}{18x^2(x-1}$$

Vi faktoriserar x²-1 med konjugatregeln så vi kan förkorta bort (x-1). 

$$\frac{(x-1)(x+1)6x}{18x^2(x-1}$$

$$\frac{(x+1)6x}{18x^2}$$

Nu kan vi förkorta bort största gemensamma nämnare, vilket blir 6x i detta fall och kvar får vi

$$\frac{x+1}{3x}$$

Förenkla följande rationella uttryck

$$\frac{x^2 +10x +24}{x+6}$$

Vi undersöker med hjälp av pq-formeln om vi kan skriva om täljaren som två faktorer av sina rötter, därför sätter vi den till = 0

$$x^2+10x+24=0$$

Så vi sätter in p= 10 och q= 24 i formeln

$$x = \frac{-10}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{10}{2}\right)}^2}-24$$

$$x = -5 \pm \sqrt{25-24}$$

$$x = -5 \pm 1 $$

$$x_1 = -6 \text{ och } x_2= -4$$

Alltså kan vi skriva 

$$x^2+10x+24=(x+6)(x+4)$$

VI använder detta i rationella uttrycket vi startade med

$$\frac{x^2 +10x +24}{x+6} =$$

$$= \frac{(x+6)(x+4)}{(x+6)} = x+4$$

En annan metod att förenkla 

Vi använder samma uttryck men en annan metod

$$\frac{x^2 +10x +24}{x+6}$$

Vi undersöker direkt om vi kan förkorta bort nämnaren (x+6) genom att undersöka om täljaren innehåller faktorn (x+6), genom att ställa upp följande,

$$x^2+10x+24=(x+6)(x+c) = x^2 +cx +6x +6c $$

Vi måste lista ut vad c måste vara genom att jämföra VL och HL en term i taget

$$x^2 = x^2 $$

stämmer

$$10x = cx +6x$$

stämmer om c = 4

$$24 = 6c$$

stämmer om c = 4.

Eftersom vi bara fick kravet att c = 4. Kan vi använda det. 

$$\frac{x^2 +10x +24}{x+6} =$$

$$= \frac{(x+6)(x+4)}{(x+6)} = x+4$$