Konjugatregeln

I det förra avsnittet lärde vi oss om de båda kvadreringsreglerna, som anger olika sätt att skriva kvadraten på uttryck bestående av två termer som har antingen ett plus- eller ett minustecken mellan sig. I det här avsnittet ska vi gå igenom en närbesläktad räkneregel, konjugatregeln, som också är mycket användbar.

Konjugatregeln hjälper oss att beräkna ett specialfall av multiplikation av polynom, liknande de fall som fick oss att härleda kvadreringsreglerna.

Det specialfall som vi är intresserade av här är fallet då vi ska multiplicera två parentesuttryck bestående av två termer var. Den enda skillnaden mellan de båda parentesuttrycken är att det står ett plustecken mellan termerna i den ena parentesen och ett minustecken mellan termerna i den andra. Alltså

$$(a+b)\cdot(a-b)$$

Sådanna uttryck kallas för varandras konjugat. Alltså \(a+b\) är konjugat till \(a-b\) och tvärtom.

För att det ska bli tydligare vad vi menar tittar vi först på ett exempel och sedan på det allmänna fallet

Vi ska multiplicera följande parentesuttryck, som dessutom består av två polynom:

$$(x+3)\cdot (x-3)$$

Dessa båda polynom är identiska förutom att den andra termen i parentesuttrycken har olika tecken framför sig; i det ena uttrycket rör det sig om en addition, i det andra en subtraktion, av termerna.

Om vi utför multiplikationen enligt vad vi tidigare har lärt oss om multiplikation av parentesuttryck, så får vi följande:

$$(x+3)\cdot (x-3)=x\cdot x-3\cdot x+3\cdot x-3\cdot 3=$$

$$=x^2-3x+3x-3^2=x^2-3^2$$

Vi lägger särskilt märke till att vi i produkten har en kvadrerad variabelterm och en kvadrerad konstantterm, men ingen variabelterm av första graden, så som vi fick i förra avsnittet.

Om vi undersöker det mer allmänna fallet, där den första termen i parentesuttrycken är a och den andra termen är b, så får vi:

$$(a+b)\cdot (a-b)=$$

$$=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=$$

$$=a^2-ab+ab-b^2=$$

$$=a^2-b^2$$

Vad vi har kommit fram till här är vad som kallas konjugatregeln. Denna regel gäller alltså i de fall då termerna a och b har samma värde i två parentesuttryck som ska multipliceras, men där det ena parentesuttryckets termer separeras av ett plustecken och det andra uttrycket av ett minustecken (det ena är en summa, det andra är en differens):

$$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$$

På samma sätt som kvadreringsreglerna är bra att lära sig utantill, har vi användning av att kunna konjugatregeln när vi ska faktorisera polynom, vilket vi kommer att lära oss om i nästa avsnitt.