Uppgift 23

För en funktion \(f\) där \(f(x)=kx+m\) gäller att

• \(f(x+2)-f(x)=3\)
• \(f(4)=2m\)

Bestäm funktionen \(f\).

Lösningsförslag

För att bestämma \(f(x)=kx+m\) använder vi oss av informationen i punktlistan och ställer upp ett ekvationssystem. Vi vet att:

$$\begin{align} & f(x+2) = k(x+2)+m=kx+2k+m \\ & f(x)=kx+m \\ & f(4)=4k+m \end{align}$$

Det ger oss ekvationssystemet:

$$\begin{cases}kx +2k +m -(kx+m)=3 \\ 4k+m=2m \end{cases}$$

Vi förenklar första ekvationen:

$$\begin{align} kx +2k +m -(kx+m)&=3 \\ kx+2k+m-kx-m &=3\\ 2k&=3\\k&=1,5\end{align}$$

Från denna ekvation får vi k-värdet som vi sätter in i den andra ekvationen:

$$\begin{align} 4\cdot 1,5+m&=2m\\ 6+m&=2m\\ m&=6\end{align}$$

Vi har alltså fått fram att \(k=1,5\) och \(m=6\), insättning i funktionen ger \(f(x)=1,5x+6\).

Svar: \(f(x)=1,5x+6\)

Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2b, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.