Uppgift 13
För andragradsfunktionen \(f\) gäller att \(f(x)=-0,5x^2+bx-2\)
a) Visa att grafen till \(f\) går genom punkten (0,-2) oavsett värde på \(b\).
b) Bestäm för vilka värden på \(b\) som \(f\) endast har ett nollställe.
För en annan andragradsfunktion \(g\) gäller att \(g(x)=-0,5x^2+bx-c\)
c) Bestäm vilket samband som ska gälla mellan \(b\) och \(c\) för att \(g\) endast ska ha ett nollställe.
Lösningsförslag
a) För att visa att grafen \(f\) går igenom punkten (0,-2) oavsett värde på \(b\) stoppar vi in punkten i funktion \(f\):
$$\begin{align} f(0) & =-0,5\cdot 0^2 + b\cdot0-2 \\ & = 0+0-2 \\ & = -2 \end{align}$$
Vi ser alltså att andra termen multipliceras \(b\) med x-värdet 0, vilket alltid kommer leda till att den termen är 0 oavsett värde på \(b\).
b) För att ta reda på nollställena till funktionen \(f\) använder vi oss av PQ-formeln:
$$0=-0,5x^2+bx-2 \implies 0=x^2-2bx+4$$
Insättning i PQ-formeln ger:
$$\begin{align}x & = -\frac{-2b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2b}{2}\right)^2-4} \\ & = b \pm \sqrt{b^2-4} \end{align}$$
För att funktionen endast ska ha ett nollställe så ska uttrycket under rotenur-tecknet (diskriminanten) vara lika med noll, alltså \(b^2-4=0\). Detta ger:
$$b^2-4=0 \implies b^2=4 \implies b= \pm 2$$
Svar: Om \(b=\pm2\) så har funktionen endast ett nollställe.
c) För att lösa uppgift c börjar vi först med att räkna ut nollställena till funktionen \(g\) med hjälp av PQ-formeln:
$$0=-0,5x^2+bx-c \implies 0=x^2 -2bx+2c$$
Insättning i PQ-formeln ger:
$$\begin{align}x & = -\frac{-2b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2b}{2}\right)^2-2c} \\ & = b \pm \sqrt{b^2-2c} \end{align}$$
Vi använder samma resonemang som i uppgift b, för att funktionen \(g\) endast ska ha ett nollställe så ska uttrycket under rotenur-tecknet (diskriminanten) vara lika med noll, alltså \(b^2-2c=0\).
Vi har alltså en ekvation med två obekanta, \(c\) och \(b\), vilka vi ska bestämma sambanden för. Det gör vi genom att lösa ut \(c\) respektive \(b\) ur ekvationen:
Fall 1 (lösa ut \(c\)):
$$b^2-2c=0 \implies 2c=b^2 \implies c= \frac{b^2}{2}$$
Fall 2 (lösa ut \(b\)):
$$b^2-2c=0 \implies b^2=2c \implies b= \pm\sqrt{2c}$$
Svar: För att funktionen \(g\) endast ska ha ett nollställe måste följande samband gälla
$$\begin{align} c&= \frac{b^2}{2}\\ b&= \pm\sqrt{2c} \end{align}$$
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2a, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.
För andragradsfunktionen \(f\) gäller att \(f(x)=-0,5x^2+bx-2\)
a) Visa att grafen till \(f\) går genom punkten (0,-2) oavsett värde på \(b\).
b) Bestäm för vilka värden på \(b\) som \(f\) endast har ett nollställe.
För en annan andragradsfunktion \(g\) gäller att \(g(x)=-0,5x^2+bx-c\)
c) Bestäm vilket samband som ska gälla mellan \(b\) och \(c\) för att \(g\) endast ska ha ett nollställe.
Lösningsförslag
a) För att visa att grafen \(f\) går igenom punkten (0,-2) oavsett värde på \(b\) stoppar vi in punkten i funktion \(f\):
$$\begin{align} f(0) & =-0,5\cdot 0^2 + b\cdot0-2 \\ & = 0+0-2 \\ & = -2 \end{align}$$
Vi ser alltså att andra termen multipliceras \(b\) med x-värdet 0, vilket alltid kommer leda till att den termen är 0 oavsett värde på \(b\).
b) För att ta reda på nollställena till funktionen \(f\) använder vi oss av PQ-formeln:
$$0=-0,5x^2+bx-2 \implies 0=x^2-2bx+4$$
Insättning i PQ-formeln ger:
$$\begin{align}x & = -\frac{-2b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2b}{2}\right)^2-4} \\ & = b \pm \sqrt{b^2-4} \end{align}$$
För att funktionen endast ska ha ett nollställe så ska uttrycket under rotenur-tecknet (diskriminanten) vara lika med noll, alltså \(b^2-4=0\). Detta ger:
$$b^2-4=0 \implies b^2=4 \implies b= \pm 2$$
Svar: Om \(b=\pm2\) så har funktionen endast ett nollställe.
c) För att lösa uppgift c börjar vi först med att räkna ut nollställena till funktionen \(g\) med hjälp av PQ-formeln:
$$0=-0,5x^2+bx-c \implies 0=x^2 -2bx+2c$$
Insättning i PQ-formeln ger:
$$\begin{align}x & = -\frac{-2b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2b}{2}\right)^2-2c} \\ & = b \pm \sqrt{b^2-2c} \end{align}$$
Vi använder samma resonemang som i uppgift b, för att funktionen \(g\) endast ska ha ett nollställe så ska uttrycket under rotenur-tecknet (diskriminanten) vara lika med noll, alltså \(b^2-2c=0\).
Vi har alltså en ekvation med två obekanta, \(c\) och \(b\), vilka vi ska bestämma sambanden för. Det gör vi genom att lösa ut \(c\) respektive \(b\) ur ekvationen:
Fall 1 (lösa ut \(c\)):
$$b^2-2c=0 \implies 2c=b^2 \implies c= \frac{b^2}{2}$$
Fall 2 (lösa ut \(b\)):
$$b^2-2c=0 \implies b^2=2c \implies b= \pm\sqrt{2c}$$
Svar: För att funktionen \(g\) endast ska ha ett nollställe måste följande samband gälla
$$\begin{align} c&= \frac{b^2}{2}\\ b&= \pm\sqrt{2c} \end{align}$$
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2a, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.