Uppgift 24
Edith och Adrian kör samma sträcka från Umeå till Hudiksvall. Adrian startar först och Edith startar när Adrian redan har kört 13 km. Efter ett tag kör Edith om Adrian. Adrian kör med medelhastigheten 72 km/h fram till omkörningen och Edith kör med medelhastigheten 81 km/h fram till omkörningen.
Det påbörjade ekvationssystemet kan användas för att ta reda på hur lång sträcka Edith har kört när hon kör om Adrian.
$$\begin{cases}y=81x \\ \dots \end{cases}$$
där y km är sträckan fram till omkörningen. Se figur.
a) Tolka vad x betyder i detta sammanhang.
När Edith kör om Adrian har de kört en tredjedel av hela sträckan.
b) Beräkna hur långt det är mellan Umeå och Hudiksvall.
Lösningsförslag
a) Vi undersöker enheterna i ekvationen \(y=81x\). Vi får att \(y\) är sträcka i km och 81 är Ediths medelhastighet i km/h. Vi ställer upp ekvationen med enheter
$$y(km)=81\left(\frac{km}{h}\right)\cdot x$$
$$(km)=\left(\frac{km}{h}\right)\cdot x$$
$$(km)\cdot\left(\frac{h}{km}\right)=x$$
$$x=h$$
Alltså motsvarar x den tid i timmar(h) som Edith kör innan hon hinner ikapp Adrian.
b) Vi gör klart ekvationssystemet,
$$\begin{cases}y=81x \\ \dots \end{cases}$$
med en andra ekvation som beskriver sträckan Adrian kört med sin medelhastighet på \(72\) km/h och 13 km extra.
$$\begin{cases}y=81x \\ y=72x+13 \end{cases}$$
Vi använder substitutionsmetoden och får
$$81x=72x+13$$
$$9x=13$$
$$x=\frac{13}{9}$$
Vi har fått att \(x=\frac{13}{9}\) men vill veta sträckan så vi sätter in det i första ekvationen
$$y=81\cdot \frac{13}{9}= 9\cdot 13=117$$
När Edith kör om Adrian har hon kört 117 km och det är en tredjedel av sträckan är hela \(117\cdot 3 = 351\) km
Svar:
a) x är den tid i timmar(h) som Edith kör innan hon hinner ikapp Adrian
b) 351 km
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2c, vårterminen 2022" - Ladda ner provet här.