Uppgift 21

Det största djur som någonsin funnits på jorden är blåvalen. Under de senaste hundra åren har antalet blåvalar minskat kraftigt på grund av jakt.

År 1900 fanns det ungefär 239000 valar i världshaven och hundra år senare var antalet ungefär 2300. Anta att antalet blåvalar minskar exponentiellt med tiden.

Bestäm vilket år det för första gången kommer att vara färre än 200 blåvalar om minskningen fortsätter i samma takt.

Lösningsförslag

Eftersom uppgiftsbeskrivningen säger att vi ska anta att antalet blåvalar minskar exponentiellt med tiden så vet vi att funktionen som beskriver antalet blåvalar är en exponentialfunktion:

$$y=C\cdot a^x$$

där \(y\) är antalet blåvalar, \(C\) är antalet blåvalar vid start, \(a\) är den årliga procentuella förändringen och \(x\) är tiden i år.

Vi vet från uppgiften att \(C=239000\) och när det har gått 100 år är antalet blåvalar 2300. Vi kan därför ställa upp följande ekvation och räkna ut den årliga procentuella förändringen:

$$\begin{align} 2300 &= 239000\cdot a^{100} \\ \frac{2300}{239000} &= a^{100} \\ \sqrt[100]{\frac{2300}{239000}} &= a \\ a& \approx 0,9546 \end{align}$$

Detta ger oss att vår funktion som beskriver antalet blåvalar är:

$$y=239000 \cdot 0,9546^x$$

För att ta reda på vilket år som antalet blåvalar för första gången kommer vara färre än 200 stycken kan vi ställa upp följande ekvation och räkna ut \(x\):

$$\begin{align} 200=& 239000 \cdot 0,9546^x \\ \frac{200}{239000} =& 0,9546^x \\ \lg \left( \frac{200}{239000} \right) =& \lg \left( 0,9546^x \right) \\ \lg \left( \frac{200}{239000} \right) =& x \cdot \lg (0,9546) \\ \frac{\lg \left( \frac{200}{239000} \right)}{\lg (0,9546)} =& x \end{align}$$

Inskrivning i miniräknaren ger att:

$$x \approx 153$$

Detta ger att:

$$1900+153=2053$$

Alltså år 2053 kommer det för första gången vara färre än 200 blåvalar om minskningen fortsätter i samma takt.

Svar: År 2053

Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2b, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.