Bearbetar matematik: 100%

Uppgift 29

Figuren visar rektangeln ABCD med en punkt P på sidan BC. När sträckorna DP och AB förlängs skär de varandra i punkten Q.

Bestäm ABAQ om BP=a och PC=3a.

Lösningsförslag

Vi använder alternatvinklar och likbelägna vinklar för att rita ut denna bild. 

Utifrån vinklarna i bilden kan vi se att trianglarna DPC och DAQ är likformiga, därför har vi förhållandet

ADCP=AQDC=DQDP 

Vi använder detta samband och sätter in givna BP=a och PC=3a och att AD=3a+a=4a.

ADCP=4a3a=43

Då gäller även detta förhållande, tack vare likformigheten

AQDC=43

och för något b>0 gäller även AQDC=4b3b. När DC=3b är även AB=3b eftersom de är motstående sidor i rektangeln. Dessutom med AQ=4b så blir BQ=4b3b=b

Vi har de längder vi behöver

ABAQ=3b4b=34

Svar: ABAQ=34

Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2b, vårterminen 2022" - Ladda ner provet här.

Har du en fråga du vill ställa om Uppgift 29? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se

Figuren visar rektangeln \(ABCD\) med en punkt \(P\) på sidan \(BC\). När sträckorna \(DP\) och \(AB\) förlängs skär de varandra i punkten \(Q\).

Bestäm \(\frac{AB}{AQ}\) om \(BP = a\) och \(PC = 3a\).

Lösningsförslag

Vi använder alternatvinklar och likbelägna vinklar för att rita ut denna bild. 

Utifrån vinklarna i bilden kan vi se att trianglarna \(DPC\) och \(DAQ\) är likformiga, därför har vi förhållandet

$$\frac{AD}{CP}=\frac{AQ}{DC}=\frac{DQ}{DP}$$ 

Vi använder detta samband och sätter in givna \(BP = a\) och \(PC = 3a\) och att \(AD=3a+a=4a\).

$$\frac{AD}{CP}=\frac{4a}{3a}=\frac{4}{3}$$

Då gäller även detta förhållande, tack vare likformigheten

$$\frac{AQ}{DC}=\frac{4}{3}$$

och för något \(b>0\) gäller även \(\frac{AQ}{DC}=\frac{4b}{3b}\). När \(DC=3b\) är även \(AB=3b\) eftersom de är motstående sidor i rektangeln. Dessutom med \(AQ=4b\) så blir \(BQ=4b-3b=b\)

Vi har de längder vi behöver

$$\frac{AB}{AQ}=\frac{3b}{4b}=\frac{3}{4}$$

Svar: \(\frac{AB}{AQ}=\frac{3}{4}\)

Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2b, vårterminen 2022" - Ladda ner provet här.

Har du en fråga du vill ställa om Uppgift 29? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se