Logaritmlagarna

Detta avsnitt ingår i matematik 2b och matematik 2c.

Som vi såg i avsnittet om tiologaritmer så är logaritmer väldigt viktiga för att kunna lösa exponentialekvationer, det vill säga ekvationer med x i exponenten.

Det finns ett gäng logaritmlagar som kan vara bra att komma ihåg som förenklar ens tillvaro när vi ska lösa exponentialekvationer.

Det finns tre stycken logaritmlagar som vi kan härleda utifrån potenslagarna och definitionen för tiologaritmer. Här nedan presenterar vi logaritmlagarna och deras härledning.

Första logaritmlagen

Första logaritmlagen talar om vad som händer vid multiplikation. Med andra ord vad

$$\lg(x \cdot y)$$

är?

Vi börjar med att skriva om talen x och y som potenser med basen 10

$$x=10^{\lg(x)}$$

$$y=10^{\lg(y)}$$

Och använder detta till att skriva om uttrycket ovan

$$\lg(x\cdot y)=\lg\left(10^{\lg(x)}\cdot 10^{\lg(y)}\right)$$

Med hjälp av potenslagen för multiplikation av potenser med samma bas

$$x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}$$

Så kan vi skriva om uttrycket till

$$\lg\left(10^{\lg(x)}\cdot 10^{\lg(y)}\right)=\lg\left(10^{\lg(x)+\lg(y)}\right)$$

Och med hjälp av definitionen för tiologaritmen så skriver vi sedan om detta till

$$\lg\left(10^{\lg(x)+\lg(y)}\right)=\lg(x)+\lg(y)$$

Sammanfattar vi första logaritmlagen ser den ut som följer

$$\lg\left(x\cdot y \right)=\lg(x)+\lg(y)$$

Andra logaritmlagen

Andra logaritmlagen talar om för oss vad som händer vid division. Med andra ord vad

$$\lg \left( \frac{x}{y} \right)$$

är. Precis som när vi skulle härleda första logaritmlagen så börjar vi med att skriva om x och y som potenser med basen 10 och får då

$$\lg\left ( \frac{x}{y} \right )=\lg\left( \frac{10^{\lg(x)}}{10^{\lg(y)}} \right)$$

Vi kan härifrån med hjälp av potenslagen för division av potenser med samma bas

$$\frac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b}$$

Skriva om uttrycket ytterligare

$$\lg\left( \frac{10^{\lg(x)}}{10^{\lg(y)}}\right) =\lg(10^{\lg(x)-\lg(y)})$$

Och härifrån förenkla det till

$$\lg(10^{\lg(x)-\lg(y)})=\lg(x)-\lg(y)$$

Andra logaritmlagen lyder alltså som följer

$$\lg\left( \frac{x}{y} \right)=\lg(x)-\lg(y)$$

Tredje logaritmlagen

Tredje logaritmlagen talar om för oss vad som händer vid logaritmer av potenser. Med andra ord vad

$$\lg\left(x^{a}\right)$$

är? Precis som vid härledningarna högre upp börjar vi med att med hjälp av definitionen för tiologaritmen skriva om x som en potens med basen 10 och ersätta x med detta i uttrycket

$$\lg\left(x^{a}\right)=\lg\left(10^{\lg(x)}\right)^{a}$$

Med hjälp av potensregeln för potenser av potenser

$$\left (x^{a} \right )^{b}=x^{a\cdot b}$$

Så kan vi skriva om uttrycket på följande vis

$$\lg\left(10^{\lg(x)}\right)^{a}=\lg \left(10^{\lg(x)\cdot a}\right)=\lg\left(10^{a\cdot \lg(x)}\right)$$

Och detta kan sedan skrivas om till

$$\lg\left(10^{a\cdot\, \lg(x)}\right)=a\cdot \lg(x)$$

Och vi kan sammanfatta tredje logaritmlagen till

$$\lg\left(x^{a}\right)=a\cdot \lg(x)$$

Kom ihåg!

$$\lg \left (x\cdot y \right )=\lg(x)+\lg(y)$$

$$\lg\left ( \frac{x}{y} \right )=\lg(x)-\lg(y)$$

$$\lg\left(x^{a}\right)=a\cdot \lg(x)$$

Vi vill sätta in 1 000 kr i en fond som har räntesatsen 12 %. Hur många år tar det innan insatsen har växt så att vi har 10 000 kr i fonden?

$$1000\cdot 1,12^{x}=10000$$

$$\frac{1000\cdot 1,12^{x}}{1000}=\frac{10000}{1000}$$

$$1,12^{x}=10$$

$$\log(1,12^{x})=\log(10)$$

$$x\cdot \log(1,12)=\log(10)$$

$$(\log(10)=1)$$

$$x=\frac{1}{\log(1,12)} \approx 20,3$$

Svar: 20 år (och 4 månader)