Uppgift 5
Två av ekvationerna A-E har reella lösningar. Vilka två?
A. x2+3=1
B. x2+6x−3=2
C. x2=−9
D. x2−4x+9=2
E. (x−2)(x+2)=0
Lösningsförslag
Vi tittar på varje ekvation enskilt och ser om de har reella lösningar eller inte.
A. x2+3=1⟹x2=−2⟹x=±√−2
Denna ekvation har inte reella lösningar.
B. x2+6x−3=2⟹x2+6x−5=0
Vi använder PQ-formeln för att undersöka om lösningarna är reella:
x=−62±√(62)2+5
Om diskriminanten är större än eller lika med 0 så har ekvationen reella lösningar.
(62)2+5=32+5=9+5=14
Ekvationen har reella lösningar.
C. x2=−9⟹x=√−9
Denna ekvation har inte reella lösningar.
D. x2−4x+9=2⟹x2−4x+7=0
Vi använder PQ-formeln för att undersöka om lösningarna är reella:
x=42±√(42)2−7
Om diskriminanten är större än eller lika med 0 så har ekvationen reella lösningar.
(42)2−7=22−7=4−7=−3
Denna ekvation har alltså inga reella lösningar.
E. (x−2)(x+2)=0
Här ser vi direkt att rötterna är x=2 och x=−2, alltså har denna ekvation reella lösningar.
Svar: Ekvation B och E har reella lösningar.
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2c, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.
Två av ekvationerna A-E har reella lösningar. Vilka två?
A. \(x^2+3=1\)
B. \(x^2+6x-3=2\)
C. \(x^2=-9\)
D. \(x^2-4x+9=2\)
E. \((x-2)(x+2)=0\)
Lösningsförslag
Vi tittar på varje ekvation enskilt och ser om de har reella lösningar eller inte.
A. \(x^2+3=1 \implies x^2=-2\implies x=\pm\sqrt{-2}\)
Denna ekvation har inte reella lösningar.
B. \(x^2+6x-3=2\implies x^2+6x-5=0\)
Vi använder PQ-formeln för att undersöka om lösningarna är reella:
$$x=-\frac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2+5}$$
Om diskriminanten är större än eller lika med 0 så har ekvationen reella lösningar.
$$\left(\frac{6}{2}\right)^2+5=3^2+5=9+5=14$$
Ekvationen har reella lösningar.
C. \(x^2=-9\implies x=\sqrt{-9}\)
Denna ekvation har inte reella lösningar.
D. \(x^2-4x+9=2\implies x^2-4x+7=0\)
Vi använder PQ-formeln för att undersöka om lösningarna är reella:
$$x=\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-7}$$
Om diskriminanten är större än eller lika med 0 så har ekvationen reella lösningar.
$$\left(\frac{4}{2}\right)^2-7=2^2-7=4-7=-3$$
Denna ekvation har alltså inga reella lösningar.
E. \((x-2)(x+2)=0\)
Här ser vi direkt att rötterna är \(x=2\) och \(x=-2\), alltså har denna ekvation reella lösningar.
Svar: Ekvation B och E har reella lösningar.
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2c, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.