Additionsmetoden

I tidigare avsnitt har vi lärt oss hur man kan lösa linjära ekvationssystem grafiskt och hur man kan lösa dem algebraiskt med hjälp av substitutionsmetoden. I det här avsnittet ska vi introducera en andra algebraisk lösningsmetod, additionsmetoden, som kan användas som ett alternativ till substitutionsmetoden.

Som vi har stött på många gånger vid det här laget kan vi skriva om ekvationer genom att vi till exempel samtidigt adderar ett tal till både högra och vänstra ledet i ekvationen. På samma sätt kan vi addera hela uttryck, så länge vi ser till att vi adderar ett likvärdigt uttryck till de båda leden samtidigt.

Det är detta vi använder oss av när vi löser linjära ekvationssystem med hjälp av additionsmetoden.

Additionsmetoden går ut på att vi adderar ekvationerna ledvis så att antingen x eller y försvinner. Oftast kan vi inte få det önskade resultatet genom att addera direkt, utan vi måste först multiplicera någon av ekvationerna med något tal för att få en av variablerna att försvinna när vi sedan utför additionen.

Det hela blir tydligare med ett exempel, där vi återigen använder oss av vårt vid det här laget bekanta ekvationssystem

$$\\\left\{\begin{matrix}y=2x+4\: \: (1)\\ \\ y=3x+2\: \: (2)\end{matrix}\right.\\$$

(För att veta vilken ekvation vi menar så har vi lagt in en etta och en tvåa här ovanför, till höger om respektive ekvation.)

Om vi i det här skedet skulle addera de båda ekvationerna ledvis så skulle det varken resultera i att vi blev av med x eller y. Men om vi först skulle multiplicera den andra ekvationen med -1 så får vi följande:

$$\\\left\{\begin{matrix}y=2x+4\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ y\cdot {\color{Blue} {(-1)}}={\color{Blue}{ (-1)}}\cdot (3x+2)\end{matrix}\right.$$

$$\\\left\{\begin{matrix}y=2x+4\\ \\ -y=-3x-2\end{matrix}\right.\\$$

Nu kan vi addera de båda ekvationerna med varandra ledvis och får då

$${\color{Blue} {y}}+({\color{Red} {-y}})=({\color{Blue}{ 2x+4}})+({\color{Red}{ -3x-2}})$$

$$0=-x+2$$

$$x=2$$

För att sedan ta reda på vad y-värdet är så stoppar vi in värdet av x i någon av ekvationerna (det spelar ingen roll vilken av dem):

$$y=2x+4$$

$$y=2\cdot 2+4$$

$$y=8$$

Återigen ser vi att vi fick samma lösning, x = 2, y = 8, med additionsmetoden som med substitutionsmetoden och den grafiska lösningsmetoden.