Kvadratkomplettering

Vi har tidigare konstaterat att vi allmänt kan skriva en andragradsekvation på formen

$$ax^{2}+bx+c=0$$

där a, b och c är konstanter, och a ≠ 0.

I de föregående avsnitten har vi löst icke-fullständiga andragradsekvationer, alltså sådana fall av andragradsekvationer som antingen har saknat en x-term av första graden (det vill säga har haft konstanten b = 0, vad vi kallat enkla andragradsekvationer) eller saknat en konstantterm (c = 0), vilka vi löste genom att skriva vänsterledet i faktorform och sedan använda nollproduktmetoden.

Men dessa fall har bara varit specialfall. Hur gör vi i det allmänna fallet, då varken a, b eller c har värdet noll? Det är detta allmänna fall som vi nu ska ta oss an och det gör vi med hjälp av kvadratkomplettering, en viktig metod som kommer att leda fram till pq-formeln, en mycket användbar metod som vi kommer att använda framöver då vi ska lösa andragradsekvationer.

Ett exempel på en fullständig andragradsekvation som vi vill kunna lösa algebraiskt är följande

$$3x^2-6x-9=0$$

För att lösa denna med hjälp av kvadratkomplettering börjar vi med att se till att koefficienten framför x²-termen blir lika med 1. Detta gör vi genom att dividera hela ekvationen med 3.

Vi får då

$$\frac{3x^2}{{\color{Blue} 3}}-\frac{6x}{{\color{Blue} 3}}-\frac{9}{{\color{Blue} 3}}=0$$

$$x^2-2x-3=0 $$

Nu har vi andragradsekvationen skriven på en form som vi allmänt kan uttrycka så här:

$$ x^2+px+q=0$$

där p och q är reella tal.

När vi väl har andragradsekvationen skriven på denna form kan vi i nästa steg skriva om ekvationen så att det vänstra ledet bildar ett kvadrerat uttryck där variabeln ingår.

Vi börjar med att flytta över konstanttermen till ekvationens högra sida, vilket i vårt exempel blir

$$x^2-2x-3=0$$

$$x^2-2x-3\,{\color{Blue} +\, 3}=0\,{\color{Blue} +\, 3}$$

$$x^2-2x=3$$

Härnäst vill vi hitta ett tal d sådant att vi kan addera det till ekvationens båda sidor och därigenom kan skriva om det vänstra ledet som ett kvadrerat uttryck:

$$x^2-2x=3$$

$$x^2-2x+d=(x-\sqrt{d})^2=d+3 $$

Vilket är detta tal d som gör detta möjligt? Det beror på vilket värde vi har framför x-termen i ekvationen.

Om vi repeterar andra kvadreringsregeln, så minns vi att den generellt kan skrivas som

$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$

Vi jämför denna likhet, term för term, med hur vi vill kunna skriva vår ekvation:

$$x^2-2x+d=(x-\sqrt{d})^2$$

Nu kan vi se att talet a i kvadreringsregeln motsvaras av x i vårt exempel. Vi kan också se att b måste vara lika med 1 i vårt exempel. Om b² ska vara lika med d, då får vi d = 1² = 1. Det tal d som vi ska addera är därför i vårt exempel lika med 1.

Därför kan vi nu skriva om vår ekvation på följande sätt:

$$x^2-2x+d=(x-\sqrt{d})^2=d+3$$

$$x^2-2x+1=(x-\sqrt{1})^2=1+3$$

$$(x-1)^2=4$$

Det var hit vi ville komma, för vad vi har nu är nämligen en ekvation som vi kan lösa genom att dra roten ur båda leden och sedan lösa ut x. Genom att kvadratkomplettera har vi alltså lyckats skriva om vår andragradsekvation på en form som vi redan har metoder för att lösa.

Vi drar roten ur vänster och höger led, och får följande lösningar:

$$(x-1)^2=4$$

$$x-1=\pm\sqrt{4}=\pm 2$$

Fall 1:

$$x - 1 = 2$$

$$x - 1\, {\color{Blue}{ +\, 1}} = 2\, {\color{Blue} {+\, 1}}$$

$$x_1 = 3$$

Fall 2:

$$x - 1 = -2$$

$$x - 1\, {\color{Blue} {+\, 1}} = -2\, {\color{Blue} {+\, 1}}$$

$$x_2 = -1$$

Vi fick två reella lösningar till den ursprungliga andragradsekvationen: x₁ = 3 och x₂ = -1.

I det här exemplet skrev vi om vår andragradsekvation så att vi kunde använda den andra kvadreringsregeln. Anledningen till att vi använde just denna kvadreringsregel är att vi hade en negativ term, -2x, i vänsterledet. Hade vi istället haft en positiv term, till exempel 2x, i vänsterledet, då hade vi använt oss av den första kvadreringsregeln och bildat ett uttryck liknande

$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$

Vi räknar ett ytterligare exempel där vi löser en andragradsekvation med hjälp av kvadratkomplettering

$$x^2+4x-5=0$$

Andragradsekvationen står redan skriven på den önskade formen

$$x^{2}+px+q=0$$

så vi behöver inte dividera ekvationen med något i det här läget.

På samma sätt som i det tidigare exemplet börjar vi med att flytta över konstanttermen till det högra ledet, vilket vi gör genom att addera 5 till båda leden:

$$x^2+4x-5=0$$

$$x^2+4x-5\,{\color{Blue} {+\,5}}={\color{Blue} {+\,5}}$$

$$x^2+4x=5$$

Nu är det dags att hitta det tal som vi ska addera till ekvationen för att få till en kvadrat i det vänstra ledet.

Eftersom variabeltermen 4x har en positiv koefficient (4) ska vi använda oss av den första kvadreringsregeln för att försöka få till ett kvadrerat uttryck i det vänstra ledet enligt

$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$

Om a återigen är lika med x, får vi enligt första kvadreringsregeln

$$ x^2+2bx+b^2=(x+b)^2$$

Den andra termen i vårt exempel, 4x, ska därför vara lika med 2bx, vilket vi löser för att få ut b:

$$4x=2bx$$

$$\frac{4x}{{\color{Blue} x}}=\frac{2bx}{{\color{Blue} x}}$$

$$4=2b$$

$$b=2$$

Med b = 2 kan vi skriva om vår andragradsekvation genom att lägga till b² i båda leden och sedan skriva om vänstra ledet till det kvadrerade uttrycket vi önskade:

$$x^2+4x+2^2=5+2^2$$

$$(x+2)^2=9$$

Nu har vi en ekvation som vi kan lösa genom att dra roten ur båda leden och sedan lösa ut x:et, vilket vi gör:

$$(x+2)^2=9$$

$$x+2=\pm\sqrt{9}=\pm3$$

Fall 1:

$$x+2=3$$

$$x+2\,{\color{Blue} {-\,2}}=3\,{\color{Blue} {-\,2}}$$

$$x_1=1$$

Fall 2:

$$x+2=-3$$

$$x+2\,{\color{Blue} {-\,2}}=-3\,{\color{Blue} {-\,2}}$$

$$x_2=-5$$

Vi kom alltså fram till två reella lösningar till den ursprungliga andragradsekvationen: x₁= 1 och x₂= -5.

I det här avsnittet såg vi exempel på hur vi kan lösa andragradsekvationer med hjälp av kvadratkomplettering. I nästa avsnitt ska vi lära oss hur vi kan lösa andragradsekvationer genom en liknande metod, pq-formeln. pq-formeln är en mycket användbar metod för lösning av andragradsekvationer, som innebär en generalisering av de lösningssteg som vi har använt oss av i det här avsnittet.