Uppgift 21
För en funktion \(f\) där \(f(x)=kx+m\) gäller att
- \(f(x+2)-f(x)=3\)
- \(f(4)=2m\)
Bestäm funktionen \(f\).
Lösningsförslag
För att bestämma \(f(x)=kx+m\) använder vi oss av informationen i punktlistan och ställer upp ett ekvationssystem. Vi vet att:
$$\begin{align} & f(x+2) = k(x+2)+m=kx+2k+m \\ & f(x)=kx+m \\ & f(4)=4k+m \end{align}$$
Det ger oss ekvationssystemet:
$$\begin{cases}kx +2k +m -(kx+m)=3 \\ 4k+m=2m \end{cases}$$
Vi förenklar första ekvationen:
$$\begin{align} kx +2k +m -(kx+m)&=3 \\ kx+2k+m-kx-m &=3\\ 2k&=3\\k&=1,5\end{align}$$
Från denna ekvation får vi k-värdet som vi sätter in i den andra ekvationen:
$$\begin{align} 4\cdot 1,5+m&=2m\\ 6+m&=2m\\ m&=6\end{align}$$
Vi har alltså fått fram att \(k=1,5\) och \(m=6\), insättning i funktionen ger \(f(x)=1,5x+6\).
Svar: \(f(x)=1,5x+6\)
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2a, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.
För en funktion \(f\) där \(f(x)=kx+m\) gäller att
- \(f(x+2)-f(x)=3\)
- \(f(4)=2m\)
Bestäm funktionen \(f\).
Lösningsförslag
För att bestämma \(f(x)=kx+m\) använder vi oss av informationen i punktlistan och ställer upp ett ekvationssystem. Vi vet att:
$$\begin{align} & f(x+2) = k(x+2)+m=kx+2k+m \\ & f(x)=kx+m \\ & f(4)=4k+m \end{align}$$
Det ger oss ekvationssystemet:
$$\begin{cases}kx +2k +m -(kx+m)=3 \\ 4k+m=2m \end{cases}$$
Vi förenklar första ekvationen:
$$\begin{align} kx +2k +m -(kx+m)&=3 \\ kx+2k+m-kx-m &=3\\ 2k&=3\\k&=1,5\end{align}$$
Från denna ekvation får vi k-värdet som vi sätter in i den andra ekvationen:
$$\begin{align} 4\cdot 1,5+m&=2m\\ 6+m&=2m\\ m&=6\end{align}$$
Vi har alltså fått fram att \(k=1,5\) och \(m=6\), insättning i funktionen ger \(f(x)=1,5x+6\).
Svar: \(f(x)=1,5x+6\)
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2a, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.