Uppgift 20

Det största djur som någonsin funnits på jorden är blåvalen. Under de senaste hundra åren har antalet blåvalar minskat kraftigt på grund av jakt.

År 1900 fanns det ungefär 239000 blåvalar i världshaven och hundra år senare var antalet ungefär 2300.

Figuren visar graferna till tre funktioner \(f\), \(g\) och \(h\) där \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) och \(y=h(x)\). De tre funktionerna representerar tre olika modeller för hur blåvalarnas antal kan ha minskat under 1900-talet. \(y\) är antalet blåvalar och \(x\) är antal år från 1900.

Anta att den årliga procentuella förändringen av antal blåvalar var konstant under 1900-talet och fortsätter vara konstant under 2000-talet.

a) Vilken av de tre modellerna representerar då hur blåvalarnas antal minskar efter år 1900? Motivera ditt svar.

b) Bestäm hur många blåvalar det finns kvar år 2065 om den årliga procentuella förändringen av antal blåvalar fortsätter att vara konstant.

Lösningsförslag

a) Eftersom vi ska anta att den årliga procentuella förändringen av antalet blåvalar var konstant under 1900-talet och fortsätter vara konstant under 2000-talet, så säger det till oss att modellen ska följa en exponentialfunktion:

$$y(x)=C\cdot a^x$$

där \(C\) är antal blåvalar vid start, \(a\) är den årliga procentuella förändringen och \(x\) är antal år.

Om vi nu undersöker de tre graferna:

• Grafen \(f(x)\) är en rät linje, \(f(x)=kx+m\). Det är inte en exponentialfunktion och är alltså inte den modell som representerar antalet blåvalar.
• Grafen \(g(x)\) är en andragradsfunktion, \(g(x)=ax^2+bx+c\). Det är inte en exponentialfunktion och är alltså inte den modell som representerar antalet blåvalar.
• Grafen \(h(x)\) är en exponentialfunktion, \(h(x)=C\cdot a^x\). Det är samma modell som vi sa var rätt och är således den modell som representerar antalet blåvalar.

b) Från a) vet vi att modellen är en exponentialfunktion, \(y(x)=C\cdot a^x\), där \(C\) är antal blåvalar vid start, \(a\) är den årliga procentuella förändringen och \(x\) är antal år. Vi vet startvärdet, \(C=239000\). Efter 100 år var 2300 blåvalar, vilket säger till oss att när \(x=100\) så är \(y=2300\). Från detta kan vi ställa upp en ekvation och beräkna den årliga procentuella förändringen:

$$\begin{align} 2300 &= 239000\cdot a^{100} \\ \frac{2300}{239000} &= a^{100} \\ \sqrt[100]{\frac{2300}{239000}} &= a \\ a& \approx 0,9546 \end{align}$$

Nu kan vi beräkna antalet blåvalar år 2065. Antal år är:

$$x=2065-1900=165$$

Insättning i modellen ger:

$$\begin{align} y &= 239000 \cdot 0,9546^{165} \\ y & \approx 112 \end{align}$$

Svar: Antal blåvalar år 2065 beräknas vara 112 stycken.

Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2a, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.