Uppgift 23

Tidningen Times of India släppte år 2018 nyheten att antalet tigrar i Indien mer än fördubblats sedan år 2006.

Tidningen uppgav att det fanns 1411 tigrar i Indien år 2006 och att det fanns 2967 tigrar år 2018. Anta att tigrarna räknades i början av år 2006 och i början av år 2018. Anta även att den årliga procentuella förändringen av antalet tigrar var lika stor under tidsperioden och att förändringen fortsätter i samma takt även efter år 2018.

Bestäm vilket år som tigrarnas antal förväntas vara 5000.

Lösningsförslag

Vi får från grafen att år 2006 finns det 1411 tigrar och år 2018 finns det 2967 tigrar. Vi skapar en exponentialfunktion \(f(x)=C\cdot a^x\) där \(x\) är antal år efter 2006 och \(f(x)\) antal tigrar. Vi sätter in våra punkter \((0,1411)\) och \((12,2967)\) för att bestämma \(C\) och \(a\).

$$f(0) = C\cdot a^0 = C = 1411$$

Alltså är konstanten för startvärdet \(C=1411\), vi letar efter \(a\).

$$f(12) = 1411\cdot a^{12} = 2967 $$

$$a^{12}=\frac{2967}{1411}$$

$$a^{12}=2,102764..$$

$${\left(a^{12}\right)}^{\frac{1}{12}}{\left(2,102764...\right)}^{\frac{1}{12}}$$ 

$$a=1,063896..\approx 1,0639$$

Vår exponentialfunktion blir då \(f(x)=1411\cdot 1,0639^x\) och vi använder den för att hitta när antalet tigrar \(f(x)=5000\). Vi kan rita upp grafen med hjälp av digitala hjälpmedel och hitta skärningspunkten eller löser ekvationen.

$$5000 = 1411\cdot 1,0639^x$$

$$\frac{5000}{1411}=1,0639^x$$

$$3,543586=1,0639^x$$

$$\lg(3,54...)=\lg(1,0639^x)$$

$$x=\frac{\lg(3,54...)}{\lg(1,0639)}$$

$$x=20,42..$$

Året är alltså 20 år efter 2006, det vill säga år 2026.

Svar: år 2026