Uppgift 17

För andragradsfunktionen \(f\) gäller att \(f(x)=-0,5x^2+bx-2\)

a) Bestäm för vilka värden på \(b\) som \(f\) endast har ett nollställe.

I figuren nedan ser du grafen till funktionen \(f\) för några olika värden på \(b\). Grafernas maximipunkter är markerade. Då \(b\) varierar följer maximipunkterna grafen till en nu andragradsfunktion \(g\), se figur.

b) Bestäm andragradsfunktionen \(g\).

Lösningsförslag

a) För att ta reda på nollställena till funktionen \(f\) använder vi oss av PQ-formeln:

$$0=-0,5x^2+bx-2 \implies 0=x^2-2bx+4$$

Insättning i PQ-formeln ger:

$$\begin{align}x & = -\frac{-2b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2b}{2}\right)^2-4} \\ & = b \pm \sqrt{b^2-4} \end{align}$$

För att funktionen endast ska ha ett nollställe så ska uttrycket under rotenur-tecknet (diskriminanten) vara lika med noll, alltså \(b^2-4=0\). Detta ger:

$$b^2-4=0 \implies b^2=4 \implies b= \pm 2$$

Svar: Om \(b=\pm2\) så har funktionen endast ett nollställe.

b) För att bestämma andragradsfunktionen \(g(x)\) ska vi utnyttja informationen vi fick fram i a) och det faktum att koordinaterna för \(g\) är maximipunkterna för funktionen \(f\) då \(b\) varierar.

Från a) uppgiften fick vi fram x-värdet för symmetrilinjen till funktionen \(f\), nämligen \(x_{symmetri}=b\). Det går även att beräkna x-värdet för symmetrilinjen genom formeln:

$$x_{symmetri}=\frac{x_1+x_2}{2}$$

där \(x_1\) och \(x_2\) är funktionens nollställen.

I uppgift a) fick vi fram att nollställena är \(b \pm \sqrt{b^2-4}\), vilket instoppat i formeln ger:

$$x_{symmetri}=\frac{b + \sqrt{b^2-4}+b -\sqrt{b^2-4}}{2}=\frac{2b}{2}=b$$

x-värdet för symmetrilinjen är även x-värdet för funktionens \(f\) maximipunkter. Så koordinaterna för maximipunkterna är alltså \((b,f(b))\) där \(f(b)\) är:

$$f(b)=-0,5b^2+b\cdot b -2=0,5b^2-2$$

Som vi nämnde i början av uppgiften är koordinaterna för \(g(x)\) samma koordinater som maximipunkterna för \(f(x)\) då \(b\) varierar. Alltså y-värdet för maxipunkterna \(f(b)=0,5b^2-2\) är y-värdena för \(g(x)\). Så funktionen \(g(x)\) är:

$$g(x)=0,5x^2-2$$

Svar: \(g(x)=0,5x^2-2\)

Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2b, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.