Linjens ekvation

1. Bestäm linjens ekvation om den går genom punkterna (1,1) och (3,5).

2. En linje går genom punkten (2,3) och har lutningen 1/2. Ge en annan punkt på linjen.

3. Två linjer skär varandra vinkelrätt i punkten (1,2) där den ena linjen går igenom origo. Bestäm de båda linjernas ekvation.

Lösningsförslag:

Den räta linjens ekvation ges av:

$$y=kx+m$$

Där lutningskoefficienten ges av:

$$k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

Fråga 1. Vi har två punkter (1,1) och (3,5)och vi bestämmer ekvationens lutningskoefficient.

k = (5 - 1)/(3 - 1)= 4/2 =2

Vi vill nu bestämma m. Det görs genom att sätta in en punkt i den räta linjens ekvation y= kx + m.

Vi väljer punkten (1,1)

1 = 2·1 + m

m = -1

Test med nästa punkt ger samma resultat:

5 = 2·3 + m

m = -1

Den räta linjens ekvation som går genom punkterna är:

y = 2x -1

Fråga 2. Vi känner till lutningen som är 1/2 och vi har en given punkt (2,3). Det som återstår är att beräkna m.

y = kx + m

Stoppa in punkten (2,3) i linjens ekvation och beräkna m.

3 = 0.5·2 + m

3 = 1 + m

m = 2

Ett godkänt svar är alla de punkter som uppfyller ekvationen y = 0.5x + 2

T. ex. på punkter på linjen är (-4,0), (-2,1), (0,2), (2,3), (4,4) osv

Fråga 3.

Vi vet att den ena linjen går genom punkterna (0,0) och (1,2). Vi kan då bestämma lutningskoefficienten:

k = (2-0)/(1-0) = 2

Vidare gäller att de båda linjerna skär varandra vinkelrätt i punkten (1,2). Följande samband ges för två vinkelräta linjer och dess lutningskoefficienter:

Om k₁ är ena linjens lutningskoefficient och den andra linjens lutningskoefficient är k₂:

k₁·k₂ = -1

I vårat fall blir det då:

2·k₂ = -1

k₂ = - 1/2

Vi har då kvar att beräkna m:

y=-½x+m

Vi sätter in den kända punkten i ekvationen:

2=-½*1+m => m=5/2

De båda linjernas ekvationer är alltså

y = 2x

y = -1/2x+5/2