Area

Du har en kvadrat, en liksidig triangel, en liksidig sexhörning och en cirkel som alla har omkretsen O. Rangordna dessa figurer efter dess area, med figuren med största arean först. Kan du se något mönster i rangordningen?

Lösningsförslag:

Vi ska uttrycka arean för respektive figur utifrån omkretsen.

Vi börjar med kvadraten.

Kvadraten har sidan x. Omkretsen blir då: O = 4∙x.

$$x=\frac{O}{4}$$

Arean: A = x∙x = x². Vi vill nu uttrycka arean utifrån den kända omkretsen.

$$A=x^{2}=(\frac{O}{4})^{2}=\frac{O^{2}}{16}=0,0625\cdot O^{2}$$

Vi räknar nu på triangeln.

Den liksidiga triangeln har sidan s. Omkretsen blir då: O = 3∙s.

$$s=\frac{O}{3}$$

Arean: A = (basen ∙ höjden) / 2

Vi måste alltså räkna ut triangelns höjd för att få fram arean.

Om vi kallar höjden för h får vi en rätvinklig triangel med sidorna s, h och s/2.

Nu kan vi räkna ut h med hjälp av Pythagoras sats:

$$\\h^{2}+(\frac{s}{2})^{2}=s^{2}\\\\ h^{2}+\frac{s^{2}}{4}=s^{2}\\\\ h^{2}=\frac{3}{4}s^{2}\\\\ h=\sqrt{\frac{3}{4}s^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}s\\\\ $$

Vi kan nu räkna ut arean:

$$A=\frac{\frac{s\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot s}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}s^{2}$$

Slutligen kan vi uttrycka arean A i omkretsen O genom att s = O/3.

$$A=\frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{O}{3})^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4\cdot 9}\cdot O^{2}=0,0481\cdot O^{2}$$

Vi räknar nu på sexhörningen.

Vi kallar sidan i sexhörningen för a. Omkretsen blir då: O = 6∙a.

$$a=\frac{O}{6}$$

Eftersom vinkelsumman för ett varv är 360° inser man att sexhörningen kan delas in i sex stycken liksidiga trianglar, vilket innebär att vi kan använda oss av formeln för arean som vi räknade ut för triangeln, fast nu är sidan a.

Den totala arean för sexhörningen kan vi då räkna ut som summan av de sex trianglarna:

$$\\A=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}(\frac{O}{6})^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 36}O^{2}=\\\\=0,0722\cdot O^{2}$$

Slutligen räknar vi på cirkeln.

Vi kallar cirkelns radie för r. Omkretsen blir då: O = 2π∙r.

$$r=\frac{O}{2\pi }$$

Arean A = π∙r².

$$\\A=\pi \cdot r^{2}=\pi (\frac{O}{2\pi })^{2}=\frac{\pi }{4\pi ^{2}}O^{2}=\frac{1 }{4\pi }O^{2}=\\\\=0,0796\cdot O^{2}$$

Slutsats: Cirkeln har störst area, därefter kommer sexhörningen, sedan kvadraten och sist triangeln. Vi kan notera att ju fler hörn en liksidig månghörning får desto större blir arean givet samma omkrets. Det stämmer även på cirkeln eftersom den kan tolkas som en månghörning med oändligt antal hörn. Således finns det ingen regelbunden månghörning med samma omkrets som en cirkel som har en större area än cirkeln.