Uppgift 9
Förenkla följande uttryck så långs som möjligt.
a) $$\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2-(x+3)}{2}$$
b)$$\dfrac{x^{\frac{5}{6}}(x^{\frac{1}{3}}+1)(x^{\frac{1}{3}}-1)}{x^{\frac{1}{6}}\cdot x^{\frac{1}{3}}}$$
Lösningsförslag
a) För att förenkla detta uttryck använder vi oss av kvadreringsregeln.
$$\begin{align} & \frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2-(x+3)}{2} \\ \\ & = \frac{\left(\sqrt{x}\right)^2+2\cdot \sqrt{x} \cdot\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2-x-3}{2} \\ \\ &= \frac{x+2\cdot \sqrt{x\cdot3}+3-x-3}{2} \\ \\& = \frac{2\cdot \sqrt{x\cdot3}}{2} \\ \\ & = \sqrt{3x} \end{align}$$
Svar: \(\sqrt{3x}\)
b) För att förenkla detta uttryck använder vi oss av kojugatregeln.
$$\begin{align} & \frac{x^{\frac{5}{6}}(x^{\frac{1}{3}}+1)(x^{\frac{1}{3}}-1)}{x^{\frac{1}{6}}\cdot x^{\frac{1}{3}}} \\ \\ & = \frac{x^{\frac{5}{6}} \left((x^{\frac{1}{3}})^2-1^2\right)}{x^{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}}\\ \\ & = \frac{x^{\frac{5}{6}} \left(x^{\frac{2}{3}}-1\right)}{x^{\frac{1}{6}+\frac{2}{6}}} \\ \\ & = \frac{x^{\frac{5}{6}} \left(x^{\frac{2}{3}}-1\right)}{x^{\frac{3}{6}}} \\ \\ & = x^{\frac{5}{6}-\frac{3}{6}} \left(x^{\frac{2}{3}}-1\right)\\ \\ & = x^{\frac{2}{6}} \left(x^{\frac{2}{3}}-1\right) \\ \\ & = x^{\frac{2}{6}+\frac{2}{3}} -x^{\frac{2}{6}} \\ \\ & = x^{\frac{3}{3}} -x^{\frac{1}{3}}\\ \\ & = x^1 -x^{\frac{1}{3}} \\ \\ & = x -x^{\frac{1}{3}}\end{align}$$
Svar: \(x-x^{\frac{1}{3}}\)
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2b, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.
Förenkla följande uttryck så långs som möjligt.
a) $$\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2-(x+3)}{2}$$
b)$$\dfrac{x^{\frac{5}{6}}(x^{\frac{1}{3}}+1)(x^{\frac{1}{3}}-1)}{x^{\frac{1}{6}}\cdot x^{\frac{1}{3}}}$$
Lösningsförslag
a) För att förenkla detta uttryck använder vi oss av kvadreringsregeln.
$$\begin{align} & \frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2-(x+3)}{2} \\ \\ & = \frac{\left(\sqrt{x}\right)^2+2\cdot \sqrt{x} \cdot\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2-x-3}{2} \\ \\ &= \frac{x+2\cdot \sqrt{x\cdot3}+3-x-3}{2} \\ \\& = \frac{2\cdot \sqrt{x\cdot3}}{2} \\ \\ & = \sqrt{3x} \end{align}$$
Svar: \(\sqrt{3x}\)
b) För att förenkla detta uttryck använder vi oss av kojugatregeln.
$$\begin{align} & \frac{x^{\frac{5}{6}}(x^{\frac{1}{3}}+1)(x^{\frac{1}{3}}-1)}{x^{\frac{1}{6}}\cdot x^{\frac{1}{3}}} \\ \\ & = \frac{x^{\frac{5}{6}} \left((x^{\frac{1}{3}})^2-1^2\right)}{x^{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}}\\ \\ & = \frac{x^{\frac{5}{6}} \left(x^{\frac{2}{3}}-1\right)}{x^{\frac{1}{6}+\frac{2}{6}}} \\ \\ & = \frac{x^{\frac{5}{6}} \left(x^{\frac{2}{3}}-1\right)}{x^{\frac{3}{6}}} \\ \\ & = x^{\frac{5}{6}-\frac{3}{6}} \left(x^{\frac{2}{3}}-1\right)\\ \\ & = x^{\frac{2}{6}} \left(x^{\frac{2}{3}}-1\right) \\ \\ & = x^{\frac{2}{6}+\frac{2}{3}} -x^{\frac{2}{6}} \\ \\ & = x^{\frac{3}{3}} -x^{\frac{1}{3}}\\ \\ & = x^1 -x^{\frac{1}{3}} \\ \\ & = x -x^{\frac{1}{3}}\end{align}$$
Svar: \(x-x^{\frac{1}{3}}\)
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2b, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.