Ekvationssystem

Lös följande ekvationssystem:

1.

$$\left\{\begin{matrix} 3x-y=5\\ x+y=-1 \end{matrix}\right.$$

2.

$$\left\{\begin{matrix} y=5x+3\\ y-x=11 \end{matrix}\right.$$

Lösningsförslag:

Vi använder oss av insättningsmetoden för att lösa följande ekvationssystem. Insättningsmetoden går ut på att ta en valfri ekvation ur ekvationssystemet som vi använder oss av att för att lösa ut antingen x eller y. Det uttrycket som vi får när vi löser ut x eller y sätter vi in i den andra ekvationen i systemet. Kvar får vi nu en ekvation med en okänd variabel som vi kan lösa. Värdet på den beräknade variabeln sätter vi nu in i valfri ekvation och beräknar värdet på den andra variabeln.

1. Vi vill lösa följande ekvationssystem:

$$\left\{\begin{matrix} 3x-y=5\\ x+y=-1 \end{matrix}\right.$$

Den ekvation som är enklast att använda är den undre ekvationen, där vi vill lösa ut x.

x + y = -1

x = -1 -y

Vi sätter in x i den övre ekvationen

3x - y = 5

3(-1 -y) - y = 5

-3 - 3y -y = 5

-4y = 8

y = -2

Nu ska vi räkna ut x. Vi sätter in x i valfri ekvation, då vi väljer den undre som ger enklast beräkningar.

x + y = -1

x + (-2) = -1

x = 1

Vi har nu fått våra koordinater \((x,y) = (1,-2)\) som är den gemensamma skärningspunkten.

Kontrollera alltid din lösning genom insättning av x och y i ekvationerna.

3x - y = 5

3*1 - (-2) = 3 + 2 = 5     Stämmer!

x + y = -1

1  + (-2) = 1- 2 = -1       Stämmer!

Vi vill nu lösa samma ekvationssystem genom en grafisk lösning. Vi beräknar punkter i ekvationssystemet i diagrammet:

Så här ser vårat ekvationssystem ut grafiskt:

Ekvationssystem 2.

$$\left\{\begin{matrix} y=5x+3\\ y-x=11 \end{matrix}\right.$$

Vi väljer den undre ekvationen där vi löser ut y.

y - x = 11

y = 11 + x

Insatt i den övre ekvationen ger:

y = 5x + 3

11 + x = 5x + 3

4x = 8

x = 2

Vi sätter nu in x = 2 i valfri ekvation. Här väljer vi den undre ekvationen.

y - x = 11

y - 2 = 11

y = 13

Vi har nu våra koordinater i ekvationssystemet (x,y) = (2,13) som är den gemensamma skärningspunkten.

Kontroll:

y = 5x + 3

13 = 5*2 + 3      Stämmer!

y - x = 11

13 - 2 = 11        Stämmer!

Vi vill nu lösa ekvationssystemet grafiskt. Vi beräknar några punkter i ekvationssystemet:

Så här ser ekvationssystemet ut grafiskt: