Uppgift 15

Figuren visar grafen till en exponentialfunktion.

Bestäm y-koordinaten för grafens skärningspunkt med y-axeln. Förenkla svaret så långt som möjligt och svara exakt.

Lösningsförslag

Allmän form för exponentialfunktioner är \(f(x) = C\cdot a^x\). Vi använder de punkter vi har på grafen till funktionen \((2,2)\) och \((5,54)\) för att ställa upp ett ekvationssystem. 

$$f(2) = C\cdot a^2=2$$

$$f(5) = C \cdot a^5=54$$

$$\begin{cases} C\cdot a^2=2 \\ C \cdot a^5=54 \end{cases} $$

Vi kan lösa ut \(a\) för att sedan lösa ut \(C\) som frågas efter.

$$\frac{C\cdot a^5}{C \cdot a^2}= \frac{54}{2}$$

$$\frac{a^5}{a^2}=27$$

$$a^3=27$$

$$a=3$$

Vi använder nu att \(a=3\) i första ekvationen i ekvationssystemet och löser ut \(C\). 

$$C\cdot 3^2=2$$

$$C = \frac{2}{9}$$

Svar: \(C = \frac{2}{9}\)