Uppgift 15
Figuren visar grafen till en exponentialfunktion.
Bestäm y-koordinaten för grafens skärningspunkt med y-axeln. Förenkla svaret så långt som möjligt och svara exakt.
Lösningsförslag
Allmän form för exponentialfunktioner är f(x)=C⋅ax. Vi använder de punkter vi har på grafen till funktionen (2,2) och (5,54) för att ställa upp ett ekvationssystem.
f(2)=C⋅a2=2
f(5)=C⋅a5=54
{C⋅a2=2C⋅a5=54
Vi kan lösa ut a för att sedan lösa ut C som frågas efter.
C⋅a5C⋅a2=542
a5a2=27
a3=27
a=3
Vi använder nu att a=3 i första ekvationen i ekvationssystemet och löser ut C.
C⋅32=2
C=29
Svar: C=29
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2b, vårterminen 2022" - Ladda ner provet här
Figuren visar grafen till en exponentialfunktion.
Bestäm y-koordinaten för grafens skärningspunkt med y-axeln. Förenkla svaret så långt som möjligt och svara exakt.
Lösningsförslag
Allmän form för exponentialfunktioner är \(f(x) = C\cdot a^x\). Vi använder de punkter vi har på grafen till funktionen \((2,2)\) och \((5,54)\) för att ställa upp ett ekvationssystem.
$$f(2) = C\cdot a^2=2$$
$$f(5) = C \cdot a^5=54$$
$$\begin{cases} C\cdot a^2=2 \\ C \cdot a^5=54 \end{cases} $$
Vi kan lösa ut \(a\) för att sedan lösa ut \(C\) som frågas efter.
$$\frac{C\cdot a^5}{C \cdot a^2}= \frac{54}{2}$$
$$\frac{a^5}{a^2}=27$$
$$a^3=27$$
$$a=3$$
Vi använder nu att \(a=3\) i första ekvationen i ekvationssystemet och löser ut \(C\).
$$C\cdot 3^2=2$$
$$C = \frac{2}{9}$$
Svar: \(C = \frac{2}{9}\)
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2b, vårterminen 2022" - Ladda ner provet här