Uppgift 22

Ett exemplar av ett känt datorföretags första datormodell såldes under år 2013. I samband med försäljningen kunde man läsa följande i en tidningsnotis:

Priset för datorn har därmed tusenfaldigats, sedan den ursprungligen såldes 1976. Den tillverkades för hand av företagets båda grundare, ledaren Steve Jobs och programmeraren Steve Wozniak, hemma i Jobs garage.¹

Enligt tidningsnotisen såldes datorn år 2013 till ett pris som var tusen gånger så stort som priset år 1976. Anta att den procentuella prisökningen varit lika stor varje år.

Beräkna den årliga procentuella prisökningen mellan år 1976 och år 2013 för datorn.

Lösningsförslag

Eftersom vi enligt uppgiften ska anta att den procentuella ökningen varit lika stor varje år vet vi att priset för datorn ska följa en exponentialfunktion, alltså:

$$y=C\cdot a^x$$

där \(y\) är priset för datorn, \(C\) är priset för datorn år 1976, \(a\) är den årliga procentuella ökningen och \(x\) är tiden i år.

Priset datorn såldes för år 1976 är \(C\) kr. Från uppgiften vet vi då att priset datorn såldes för år 2013 är \(1000\cdot C\) kr. Tiden \(x\) beräknar vi genom:

$$2013-1976=37$$

Från detta kan vi ställa upp följande ekvation och beräkna \(a\):

$$\begin{align}1000C &=C\cdot a^{37}\\ 1000 &= a^{37} \\ \sqrt[37]{1000} &=a \\ a & \approx 1,21 \end{align}$$

Vi fick fram att \(a \approx 1,21\), vilket betyder att den årliga procentuella ökningen mellan 1976 och 2013 är 21%.

Svar: 21%

¹TT 26 maj 2013

Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2c, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.