Substitutionsmetoden

I det förra avsnittet gick vi igenom hur vi löser linjära ekvationssystem grafiskt. I det här avsnittet ska vi titta på hur vi kan lösa linjära ekvationssystem algebraiskt genom en metod som kallas substitutionsmetoden.

När man ska lösa ett linjärt ekvationssystem algebraiskt så skriver man om ekvationssystemet så att man endast har en ekvation att lösa. Substitutionsmetoden fungerar på så sätt att man börjar med att lösa ut en av variablerna, till exempel y, ur den ena ekvationen och sedan byter ut (substituerar) y:et i den andra ekvationen mot detta värde eller uttryck.

Vi visar hur det här kan gå till med hjälp av ett exempel som vi träffade på i det förra avsnittet

$$\begin{cases}y=2x+4\: \: (1)\\ y=3x+2\: \: (2)\end{cases}$$

(För att tydliggöra vilken ekvation vi menar så har vi lagt in en etta och en tvåa här ovanför till höger om respektive ekvation. Dessa ingår alltså inte i ekvationerna på något sätt, utan är bara där för att underlätta vår beskrivning av ekvationssystemets ekvationer.)

Om vi börjar med att titta på ekvation (1), y = 2x + 4, så kan vi se att variabeln y redan står själv på vänster sida i ekvationen och vi behöver med andra ord inte lösa ut någon variabel.

För att ekvation (1) och ekvation (2) ska vara lika så måste de ha samma y-värde. Som vi kom fram till i det förra avsnittet är en tolkning av ett linjärt ekvationssystems lösning skärningspunkten mellan två linjer - en sådan skärningspunkt måste då ligga längs båda linjerna och därför måste den ha samma x- och y-värde längs de båda linjerna/ekvationerna. Det innebär att uttrycket 2x+4 i ekvation (1) ersätter y-värdet i ekvation (2). Detta ger den nya ekvationen:

$$2x+4=3x+2$$

Vad vi fick nu var en ekvation som endast innehåller en okänd variabel istället för två, och vi kan lösa ut x ur denna:

$$2x+4=3x+2$$

$$2x+4\,{\color{Blue} -\,2x} = 3x+2\,{\color{Blue} -\,2x}$$

$$4=x+2$$

$$4\,{\color{Blue} -\,2}=x+2\,{\color{Blue} -\,2}$$

$$x=2$$

Nu har vi värdet på x och för att reda på vad y är så stoppar vi bara in vårt funna x-värde i ekvation (1) (eller ekvation (2); y-värdet blir detsamma oavsett vilken av ekvationerna vi väljer att använda):

$$y=2\cdot 2+4=4+4=8$$

Nu ser vi att precis som vid den grafiska lösningen så är även den algebraiska lösningen till ekvationssystemet med hjälp av substitutionsmetoden x = 2, y = 8.

Substitutionsmetoden är alltså en metod för att lösa ett linjärt ekvationssystem algebraiskt. I nästa avsnitt ska vi träffa på en annan algebraisk metod, additionsmetoden.