Avståndsformeln

I det här avsnittet ska vi lära oss en tillämpning av Pythagoras sats som kallas avståndsformeln.

Avståndsformeln kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Den utgör en tillämpning av Pythagoras sats, som ju ursprungligen anger sambandet mellan längden på en rätvinklig triangels sidor.

Vi ritar in två punkter i ett koordinatsystem och försöker att komma fram till hur långt avståndet är mellan de båda punkterna

Vi kan från dessa punkter dra två hjälplinjer som är parallella med x-axeln respektive y-axeln, så att en rätvinklig triangel bildas, där avståndet mellan punkterna A och B (betecknat d i bilden) är triangelns hypotenusa.

Vi kan sedan beräkna längden på katetrarna AC och BC

$$AC=x_{C}-x_{A}=4-(-1)=5 \text{ längdenheter}$$

$$BC=y_{B}-y_{C}=3-(-1)=4 \text{ längdenheter}$$

Längden på sträckan d kan vi sedan räkna ut med hjälp av Pythagoras sats, som ju lyder:

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

där a och b är kateter, och c är hypotenusan.

I vårt exempel betecknas hypotenusan med d och kateterna med AC och BC Vi får därför följande:

$$ d^2=(AC)^2+(BC)^2=5^2+4^2=25+16=41$$

$$d=\sqrt{41}\approx6,4 \text{ längdenheter}$$

Avståndet mellan punkten A och punkten B är alltså ungefär 6,4 längdenheter.

Allmänt lyder avståndsformeln för vilka två punkter som helst i koordinatsystemet:

$$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

där d är avståndet mellan de båda punkterna, x₁ och y₁ är den ena punktens koordinater, och x₂ och y₂ är den andra punktens koordinater.