Linjära ekvationssystem - grafisk lösning

I  Matte 1 har vi gått igenom hur vi kan använda linjära funktioner och räta linjens ekvation. Låt oss snabbt repetera hur vi kan beskriva linjära samband med hjälp av räta linjens ekvation.

Sammanfattning och repetition av viktiga regler till räta linjen. 

I det här avsnittet ska vi titta närmare på hur man kan hitta den punkt där två räta linjer skär varandra - detta gör vi genom att vi löser ett linjärt ekvationssystem.

Ett ekvationssystem är en uppsättning av två eller flera ekvationer som ska gälla samtidigt. Det innebär att om vi hittar en lösning på ekvationssystemet så ska den lösningen vara en lösning på var och en av de ingående ekvationerna samtidigt.

Ett linjärt ekvationssystem består, som namnet antyder, av två eller flera linjära ekvationer.

Vanligtvis skriver man ett ekvationssystem genom att man sätter de ingående ekvationerna till höger om en klammer, på det sätt som vi visar här nedan för ett linjärt ekvationssystem bestående av två ekvationer:

$$\\\left\{\begin{matrix}y=k_1x+m_1\\ y=k_2x+m_2\end{matrix}\right.\\$$

Man kan lösa ett linjärt ekvationssystem på några olika sätt. Vi börjar med att gå igenom hur man löser ett linjärt ekvationssystem grafiskt.

Grafisk lösning

Man kan tolka lösningen av ett linjärt ekvationssystem som den punkt i ett koordinatsystem där de ingående ekvationernas linjer skär varandra. Denna punkt kallas för en skärningspunkt.

Ett linjärt ekvationssystem kan lösas grafiskt antingen för hand eller med hjälp av en grafritande räknare. De flesta grafritande räknarna har en programfunktion som du kan använda för att räkna ut skärningspunkten (intercept på engelska).

Låt oss titta på hur vi i ett exempel kan lösa ett ekvationssystem grafiskt

Vi har följande ekvationssystem:

$$\\\left\{\begin{matrix}y=2x+4\\ y=3x+2\end{matrix}\right.\\$$

I ett första steg ritar vi in de båda linjerna var för sig i ett koordinatsystem. Vi kallar den första linjens y-värde för L₁ (den blåfärgade linjen) och den andra linjens y-värde för L₂ (den rödfärgade linjen):

Vi ser att linjerna skär varandra i punkten (2, 8) och detta är då vår lösning till ekvationssystemet. Lösningen av ekvationssystemet utgörs alltså av x = 2 och y = 8.

Sätter vi in dessa värden i våra två ekvationer, så ser vi att de vänstra leden i respektive ekvation fortfarande är lika med de högra leden:

$$ \\\left\{\begin{matrix}8=2\cdot 2+4=4+4=8\\ 8=3\cdot 2+2=6+2=8\end{matrix}\right.\\$$

Vår lösning stämmer alltså.

Antal lösningar till linjära ekvationssystem

I exemplet ovan hittade vi en lösning - det fanns en skärningspunkt mellan de båda linjerna.

Men det finns även två andra möjliga situationer som man kan stöta på när vi har att göra med linjära ekvationssystem bestående av två ekvationer.

Det första fallet är om de två linjerna har samma lutning (k₁ = k₂), det vill säga att de är parallella. I detta fall kommer linjerna aldrig att skära varandra - det finns ingen skärningspunkt - och man säger då att ekvationssystemet saknar lösning.

Det andra fallet är om de två linjerna sammanfaller (det vill säga att de båda linjerna kan beskrivas med hjälp samma k-värde (k₁ = k₂) och samma m-värde (m₁ = m₂) i räta linjens ekvation). I detta fall har ekvationssystemet oändligt många lösningar, eftersom varje val av punkt som är en lösning till den ena ekvationen automatiskt också kommer att vara en lösning till den andra.

Ett problem att grafiskt söka en lösning till ett ekvationssystem är att det ibland kan vara svårt att lösa dem helt exakt och att det snarare blir ett närmevärde man får fram. För att kunna lösa ekvationen exakt kan det då vara bättre att använda sig av en algebraisk lösningsmetod. Det finns två typer av algebraiska lösningsmetoder, som vi ska gå igenom i de kommande avsnitten: substitutionsmetoden och additionsmetoden.