Matematisk problemlösning
1. Vad är \( \frac{2}{3} + \frac{4}{7} - \frac{5}{21}\)?
- \( -\frac{1}{11} \)
- \( \frac{1}{7} \)
- \( 1 \)
- \( 3 \)
\( \frac{2}{3} + \frac{4}{7} - \frac{5}{21} =\frac{7 \cdot 2}{7 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 7} - \frac{5}{21} = \frac{14}{21} + \frac{12}{21} - \frac{5}{21} = \frac{14 +12 - 5}{21} = \frac{21}{21} = 1 \)
Svar: C
2. Hur stor är den största vinkeln i en triangel där förhållandet mellan vinklarna är 1:2:6?
- \(60^\circ\)
- \(90^\circ\)
- \(120^\circ\)
- \(135^\circ\)
För att hitta storleken på den största vinkeln i triangeln där förhållandet mellan vinklarna är 1:2:6 måste du först ange ett värde för den minsta vinkeln. Låt oss kalla den minsta vinkeln för x grader. Enligt förhållandet är den andra vinkeln 2x grader, och den största vinkeln är 6x grader.
För att bestämma x kan du använda det faktum att summan av vinklarna i en triangel är 180 grader. Så:
x + 2x + 6x = 180
Nu kan du lösa ekvationen för x:
\(9x = 180 \)
\( x = \frac{180}{9} \)
\(x = 20 \)
Nu har du värdet på x, vilket är 20 grader. Den minsta vinkeln är 20 grader, den andra vinkeln är 2x, alltså \(2 \cdot 20 = 40^\circ \), och den största vinkeln är 6x, alltså \(6 \cdot 20^\circ = 120^\circ \).
Så den största vinkeln i triangeln är \(120^\circ\) .
Svar: C
3. \(x^3 + bx - 4 = 0\)
Om \(x = -2\), vad är då \(b\)?
- \(-6 \)
- \(-2 \)
- \(0 \)
- \(2 \)
\(x^3+bx-4 = 0 \)
\( (-2)^3+b(-2)-4 = 0 \)
\(-8-2b-4 = 0\)
\(-2b=12 \Rightarrow b = -6\)
4. \(f (x) = \frac{3x}{4} - \frac{1}{2}\)
För vilket värde på \(x\) gäller att \(f(x) = 0\)?
- \( \frac{3}{8} \)
- \( \frac{2}{3} \)
- \( \frac{3}{2} \)
- \( \frac{8}{3} \)
\( f(x) = \frac{3x}{4} - \frac{1}{2} = 0 \)
\( \frac{3x}{4} = \frac{1}{2}\)
\( x = \frac{ 4\cdot 1}{3\cdot 2} = \frac{2}{3}\)
Svar: B
5. \( x + \frac{3}{5} = \frac{5}{8} \)
- \( \frac{2}{3} \)
- \( \frac{3}{8} \)
- \( \frac{2}{13}\)
- \( \frac{1}{40}\)
\( x + \frac{3}{5} = \frac{5}{8} \)
\( x =\frac{5}{8} - \frac{3}{5} =\frac{25}{40} - \frac{24}{40}=\frac{1}{40} \)
Svar: D.
6. Medelvärdet av x och y är lika med 16. Medelvärdet av 20 och z är lika med 30. Vad är x + y + z?
- 42
- 56
- 62
- 72
\begin{align*}
\frac{x+y}{2} &= 16 \\
x+y &= 32 \\
\frac{20+z}{2} &= 30 \\
z &= 30 \cdot 2 - 20 = 40 \\
x+y+z &= 32 + 40 = 72 \\
\text{Svar: } D
\end{align*}
7. Vilket svarsalternativ motsvarar uttrycket \( -5x(7 - 3y) \)?
- \( -35x - 3y \)
- \( -(35x - 15)y \)
- \( (15y - 35)x \)
- \( 15x(y + 7) \)
\begin{align*}
-5x(7 - 3y) &= -35x + 15xy \\
&= x(15y - 35) \\
\text{Svar: } C
\end{align*}
8. Ekvationen för en rät linje kan skrivas \(y = kx + m\). För vilken av nedanstående linjer är produkten \( k \cdot m \)
\begin{align*}
A: & \quad y = x \quad \Rightarrow \quad k \cdot m = 0 \\
B: & \quad y = 2 \quad \Rightarrow \quad k \cdot m = 0 \\
C: & \quad y = -x - 2 \quad \Rightarrow \quad k \cdot m = (-1) \cdot (-2) = 2 \\
D: & \quad y = 2 - x \quad \Rightarrow \quad k \cdot m = (-1) \cdot 2 = -2 \\
\text{Svar: } C
\end{align*}
9. 10 % av x är lika med 8 % av y. Om x är lika med 20, vad är då y?
- 16
- 18
- 22
- 25
\begin{align*}
x &= 20 \\
10\% \cdot x &= 8\% \cdot y \\
y &= \frac{10}{8} \cdot x = \frac{10}{8} \cdot 20 = 25 \\
\text{Svar: } D
\end{align*}
10. En rektangel har lika stor area som en kvadrat. Kvadratens sidlängd är s. Rektangelns korta sida är 0,7s. Vilket svarsalternativ anger ett uttryck som är lika med rektangelns långa sida?
- \( s + 0,3\)
- \( s + 0,7s\)
- \( \frac{s}{0,7} \)
- \(1,3 s \)
\begin{align*}
& Ar = Ak \\
& Ak = s \cdot s \\
& Ar = sl \cdot sk \\
& sk = 0,7s \\
& sl \times 0,7s = s \cdot s \\
& sl = \frac{s \cdot s}{0,7s} \\
& sl = \frac{s}{0,7} \\
\text{Svar: } C
\end{align*}
11. p är ett primtal sådant att 4 < p < 10. m är ett positivt heltal sådant att m < p. Vilket svarsalternativ är med säkerhet korrekt?
- \(\frac{p}{m} \) är ett heltal
- \(\frac{36m}{p} \) är ett heltal
- \(\frac{m}{p} \) är ett heltal
- \(\frac{35m}{p} \) är ett heltal
\begin{align*}
\text{Möjliga primtal mellan 4 och 10 är 5 och 7.} \\
\text{Enda möjliga lösningen är D, ty } \frac{35}{p} \text{ är ett heltal} \\
\text{Och produkten av två heltal är ett heltal.} \\
\text{Svar: } D
\end{align*}
12. Annica, Bianca och Cecilia är systrar. Vid tidpunkten T var systrarnas genomsnittliga ålder 24 år. Tre år efter T var Biancas och Cecilias genomsnittliga ålder 25 år. Hur gammal var Annica tre år efter T?
- 25 år
- 27 år
- 29 år
- 31 år
\begin{align*}
&\text{Låt systrarnas ålder vid tidpunkten } T \text{ betecknas } A, B \text{ och } C \text{ respektive.} \\
\frac{A+B+C}{3} &= 24 \\
\text{Vid tidpunkten } T+3 & \quad \text{är } \frac{(B+3)+(C+3)}{2} = 25 \\
& \text{Dvs } B+C = 2 \times 25 - 6 \\
& B+C = 44 \\
\text{Insättes i 1:a uttrycket} & \quad \frac{A+B+C}{3} = \frac{A+44}{3} = 24 \\
& A = 3 \times 24 - 44 = 28 \\
\text{Annicas ålder vid } T+3 & \quad \text{är då } A+3 = 28+3 = 31 \\
\text{Svar: } D
\end{align*}