Uppgift 8

Ett tal i följden 55, 150, 435, 1 290, ... bildas genom att föregående tal multipliceras med heltalet x och den erhållna produkten subtraheras med heltalet y. Vad är summan av x och y?

A   12
B   15
C   18
D   21

Den här uppgiften kan vi lösa genom att teckna två ekvationer och sedan lösa ekvationssystemet.

Vi utgår från uppgiftstexten och skriver följande samband mellan det första och det andra talet i talföljden (55 och 150):

$$55x-y=150$$

Den här ekvationen innehåller två obekanta, x och y, så vi kan inte lösa ekvationen i det här läget. Därför tecknar vi ytterligare en ekvation med hjälp av det andra och det tredje talet i talföljden (150 och 435):

$$150x-y=435$$

Nu har vi två ekvationer som innehåller de obekanta talen x och y. Vi låter ekvationerna bilda ett ekvationssystem, som vi kan lösa.

$$\left\{\begin{matrix} 55x-y & =150\\ 150x-y & =435 \end{matrix}\right.$$

Om vi tar den nedre ekvationen minus den övre ekvation, så kommer vi att få en ekvation som enbart innehåller en obekant, nämligen x. 

$$150x-y-({\color{Magenta} {55x-y}})=435-{\color{Magenta} {150}}$$

$$150x-y-55x+y=285$$

$$95x=285$$

$$x=3$$

Nu vet vi alltså värdet på talet x.

Att ta reda på värdet på talet y är nu lätt: vi löser ut y ur den första ekvationen och sätter in det nu kända värdet på x:

$$y=55x-150=$$

$$=55\cdot 3-150=$$

$$=165-150=15$$

Nu vet vi alltså de nödvändiga värdena: x = 3 och y = 15. Den sökta summan är alltså 18.

Rätt svarsalternativ är därför C (18).

I just den här uppgiften hade vi även kunnat komma fram till lösningen genom att studera själva talföljden. Vi kunde ha noterat att varje tal i talföljden är lite drygt en tredjedel av det nästkommande talet i talföljden. Därför är det rimligt att tro att x har värdet 3, vilket vi kan ha som antagande.

Om x = 3, då får vi följande produkter:

$$55\cdot 3=165$$

$$150\cdot 3=450$$

$$435\cdot 3=1\,305$$

Vilket värde måste y ha för att vi ska få den givna talföljden när vi subtraherar var och en av dessa produkter med y? Jo, y = 15. Av detta följer sedan att summan av x och y är lika med 18.