Matematisk problemlösning
1. Vilket svarsalternativ motsvarar uttrycket \(\frac{2(x+4)}{2}+8\)
A. \(x + 10\)
B. \(x + 12\)
C. \(x + 16\)
D. \(2x + 10\)
Vi börjar med att förkorta med 2 i första termen och får ut \(2(x+4)/2+8=x+4+8=x+12\)
Svar: B
2.
L1 och L2 är parallella linjer. Hur stor är vinkeln v?
A. 49°
B. 61°
C. 64°
D. 67°
Inför de skärande linjerna L3 och L4 (se figur)
Den mindre vinkeln mellan L1 och L4 är \(180^{\circ}-131^{\circ}=49^{\circ}\)
L1 och L2 parallella därför är vinkeln mella L2 och L4 \(=49^{\circ}\)
Den mindre vinkeln mellan L2 och L3 är \(180-113=67\)
Alltså \(v+49+67=180\)
$$v=64^{\circ}$$
Svar:C
3. \(3(x - 4) = 2(x + 2)\)
Vad är \(x\)?
- -8
- -2
- 6
- 16
Multiplicera in 3 och 2 i parenteserna
\(3x-12=2x+4\) flytta över \(2x\) till vänsterledet och \(12\) till högerledet vi får
$$ 3x-2x=4+12 $$
$$x=16$$
Svar: D
4. Medelvärdet av fyra på varandra följande heltal är 4,5. Vad är medianen?
- 4
- 4,5
- 5
- 5,5
Antag första siffran är a. De på varandra följande siffrorna är $$a+a+1+a+2+a+3=4a+6$$
Medelvärdet ger oss denna ekvation
$$\frac{ (4a+6)}{4}=4,5 $$
Vi löser ut a
$$ 4a+6=4\cdot 4,5 $$
$$4a=18-6$$
$$a=3$$
Talen är 3,4,5,6 det medför att medianen är\( \frac{(4+5)}{2}=4,5\)
Svar: B
5. Linjerna \(y = kx + 3\) och \(y = 2x - 1\) skär varandra när \(x = 1\). Vilket värde har \(k\)?
- -2
- -1
- 1
- 2
Sätt ekvationerna lika med varandra eftersom de skär i \((1,y)\), vi får ekvationen:
$$kx+3=2x-1$$
Vi sätter in x=1
$$k+3=2-1 $$
$$k=-2$$
Svar: A
6. En bil körde 1 000 meter på 50 sekunder. Vilken medelhastighet hade bilen?
- 70 km/h
- 72 km/h
- 74 km/h
- 76 km/h
Vi använder att 1000m=1km och 50 s motsvarar 50/3600 timmar (h)
Hastigheten blir då \(1\cdot \frac{3600}{50}=\frac{3600}{50} = \frac{360}{5}= 72 \) km/h
Svar: B
7. Vilket svarsalternativ är lika med \(\frac{1}{\frac{2}{5}-\frac{5}{6}}\)
- \(\frac{-30}{13}\)
- \(\frac{-11}{3}\)
- \(\frac{1}{3}\)
- \(\frac{13}{10}\)
Lösningsförslag: Vi börjar med att hitta gemensam nämnare
$$\frac{1}{\frac{12-25}{30}}=\frac{1}{\frac{-13}{30}} $$
Nu vänder vi på bråket i nämnaren
$$\frac{-30}{13}$$
Svar: A
8.
Hur lång är sträckan BC?
- 13 cm
- 14 cm
- 15 cm
- 16
Vi använder Pythagoras för att hitta sträckan DB
$$3^2+4^2=9+16=25$$
DB \(=\sqrt{25}=5\)
Nu använder vi Pythagoras igen för att hitta sidan BC
$$12^2+5^2=144+25=169$$
BC \(= \sqrt{169}=13\)
Svar: A
9.
$$x-y=0$$
Vilket svarsalternativ är med säkerhet lika med \(xy\)?
- 0
- 1
- \(x\)
- \(y^2\)
Om \(x-y=0\) så är \(x= y\) alltså kan vi byta ut \(x\) mot \(y\), därför är \(xy = yy= y^2\)
Svar: D
10. \(n\) är ett heltal sådant att \(x^n\) < 0 då x är ett negativt tal.
Vilket svarsalternativ är med säkerhet korrekt?
- \(n\) är ett negativt tal.
- \(n\) är ett positivt tal.
- \(n\) är ett udda tal.
- \(n\) är ett jämt tal.
För att \(x^n\) ska vara ett negativt värde måste \(n\) vara udda, då jämna exponenter gör att de negativa talen tar ut varandra.
Svar: C
11. En myra förflyttar sig i ett koordinatsystem. Myran startar i origo. Den rör sig först 5 längdenheter i x-axelns positiva riktning och därefter 6 längdenheter i y-axelns positiva riktning. Slutligen rör sig myran 3 längdenheter i x-axelns positiva riktning.
Hur långt från origo ligger myrans slutpunkt?
- 8 längdenheter
- 10 längdenheter
- 12 längdenheter
- 14 längdenheter
I x-led så går myran: \(5+3 = 8\) steg och i y-led går myran: \(6\) steg. Vi kan använda koordinatsystemet och Pythagoras för att hitta längden från origo
$$8^2+6^2=64+36= 100$$
Längen:\(\sqrt{100}=10\)
Svar: B
12. Vilket svarsalternativ är lika med \(\sqrt{12}+\sqrt{48} \)?
- \(10\)
- \( 11\)
- \(6\sqrt{3}\)
- \(\sqrt{60}\)
Vi bryter ut de faktorer vi kan
$$\sqrt{12}+\sqrt{48} =\sqrt{ 4\cdot 3}+\sqrt{4\cdot 12}=2\sqrt{3}+2\sqrt{4\cdot 3}= $$
$$2\sqrt{3} +4\sqrt{3}=(2+4)\sqrt{3}=6\sqrt{3}$$
Svar: C