Kvantitativa jämförelser

Kv.I: Rektangeln: \(2\cdot3x+2\cdot x=8x\)

Kv.II: Triangeln: \(4x+2x+3x=9x\)

Svar: B

Kvantitet I: \(k\) för \(L_1=-2\)

Kvantitet II: \(k\) för \(L_2=\frac{1}{5}\)

Svar: B

Kvantitet I: \(\frac{24}{6}=4\)

Kvantitet II: \(\frac{3}{12}\cdot 16= \frac{1}{4}\cdot 16=4\)

Svar: C

Kvantitet I: medelvärde \(\frac{1+1+5+5}{4}=3\)

Kvantitet II: \(\frac{2+4+8+10}{2\cdot4}=3\)

Svar: C

Kvantitet I: \((\frac{2}{3}^{\frac{1}{2}})^2=\frac{4}{3}\)

Kvantitet II: \( (\frac{16}{\pi^2} )^{\frac{1}{2}} =\frac{4}{\pi}\)

Vi vet att \(\pi\) är ju större än 3, därför svaret är A.

Svar: A

En kvadrat betyder att alla sidor är lika långa. Alltså är \(\frac{3x}{y} = \frac{x}{8}\). Vi kan ta oss framåt genom att multiplicera upp nämnarna:

\(24x=xy\)

\(24=y\)

Notera här att det sista vi gjorde var att dela med x. Normalt sett bör man var försiktig när man delar med en variabel, då om det finns någon chans att den kan vara 0, är operationen inte definierad. I det här fallet kan vi nog dock anta att så inte är fallet, då det i sådana fall inte hade funnits någon kvadrat (sidorna hade varit 0). Vi kan därför känna oss lugna med att svaret nog är rimligt.

Man kan också tänka att eftersom att den ena sidan har någon längd x som skall delas med åtta och den andra sidan har en längd som är tre gånger längre innan divisionen \((3x)\), måste det vi delar med vara tre gånger större än åtta för att det hela skall gå ihop.

Svar: A

För att få lite mindre att skriva, döper vi Annas, Bedas och Claras respektive antal karameller till A, B och C. Från formuleringen har vi då att
\(A + B + C = 66\)
\(B = 19\)
\(C > \frac{66}{3} = 22\)

Alltså är \(A + C = 66 - 19 = 47\). Vi undrar nu om A är större eller mindre än 24. I och med att C > 22, är det minsta antalet karameller Clara kan ha är 23, vilket skulle lämna 24 karameller (47 - 23) till Anna. Men, i och med att uppgiften inte säger mer än så, finns det många andra fördelningar som passar. Till exempel står det ingenting om att Anna ens har några karameller, så det skulle ju lika gärna kunna vara så att Clara har alla 47 karameller. Vi kan alltså inte svara på frågan utan mer information.

Svar: D

Kvantitet I:

\(\frac{x^2}{2x}-\frac{2x}{4} =\)

\(=\frac{x}{2}-\frac{x}{2}=\frac{2x}{4}-\frac{2x}{4}=\)

\(=\frac{2x-2x}{4}=0\)

Kvantitet II:

\(\frac{2x}{x}-\frac{x}{2x}=2-\frac{1}{2}=1,5\)

Svar: B

Både \(\sqrt{x}\) och \(\frac{x}{2}\) för positiva \(x\) är exempel på monotont ökande funktioner, vilket innebär att de större och större ju större tal man stoppar in. Frågan är då om den ena är större än den andra hela tiden?

En bra första sak att kolla är om de någonsin är lika stora. Vi ser att så till exempel är fallet då \(x = 0\), då bägge funktionerna antar värdet 0. Vi ser också att funktionerna är lika stora då \(x = 4\), då \(\frac{4}{2} = 2\) och \(\sqrt{4} = 2\). Det kan vi räkna ut på följande vis:

\(\frac{x}{2}=\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow \frac{x}{2}=x^{\frac{1}{2}}\)

\(\Leftrightarrow (\frac{x}{2})^2=x\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2}{4}=x\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x=0\)

\(\Leftrightarrow x(x-4)=0\)

\(\Rightarrow x=0,\,\, x=4\)

För ett tal mittemellan dessa två punkter, till exempel \(x = 1\), ser vi att \(\sqrt{1} = 1\) och \(\frac{1}{2} = 0,5\), så där är alltså \(\sqrt{1}\) större. För ett tal större än så, till exempel \(x = 9\), ser vi att dock att \(\sqrt{9} = 3\) och \(\frac{9}{2} = 4,5\), så nu verkar \(\frac{x}{2}\) gått om. Då det inte finns några mer ställen då funktionerna är lika (inga fler lösningar till ekvationen \(\frac{x}{2} = \sqrt{x}\), kan vi vara säkra på att \(\frac{x}{2}\) hädanefter är större än \(\sqrt{x}\). Frågan gäller dock för ALLA \(x\) större än 0 och vi har hittat exempel på när bägge är större än den andra, så svaret är D.

Svar: D

Här använder vi att man kan räkna ut sträckan som produkten av hastighet och tid, dvs. sträckan \(s = v \cdot t\) (där v betecknar hastighet och t betecknar tid). Det vi behöver vara noga med är att enheterna matchar innan vi multiplicerar.

Peter:
Vi får en tid i timmar och en hastighet i meter per sekund. För att kunna multiplicera dessa och få ett rimligt svar behöver vi omvandla någon enhet så att det matcher. Vi kan välja att uttrycka 2 timmar som \(60\cdot60\cdot2\) sekunder (60 sekunder på en minut, 60 minuter på en timme) dvs. 7200 sekunder.

Han har alltså rest 5 meter i sekunden i 7200 sekunder
\(\Rightarrow 5\cdot 7200 = 36 000\, meter = 36\, km\)

(Vi kan också uttrycka \(5\, m\) per sekund som \(5\cdot60\cdot60 = 18 000\) meter i timmen, eller 18 kilometer i timmen)

Mattias
Här har vi en tid i timmar och en hastighet i kilometer per timme. Vi kan alltså multiplicera rätt av:

\(\Rightarrow 3\cdot12 = 36\, km\)

Svar: C