Uppgift 12

En mindre kvadrat med sidan x cm är inritad i en större kvadrat. Sidan i den större kvadraten är y cm längre än sidan i den mindre. Hur stor är skillnaden mellan kvadraternas areor?

A   (2xy + x$^2$) cm$^2$
B   (2xy + y$^2$) cm$^2$
C   (y$^2$ - 2xy) cm$^2$
D   (y$^2$ - x$^2$) cm$^2$

Från uppgiftstexten vet vi att den större kvadratens sidor är y cm längre än den mindre kvadratens sidor. Därför har den större kvadratens sidor längden (x + y) cm.

Arean av en kvadrat med sidan s beräknas med formeln

$$A={s}^{2}$$

I denna uppgift ska vi beräkna skillnaden mellan kvadraternas area, det vill säga

$${A}_{stor}-{A}_{liten}$$

Kan vi teckna uttryck för dessa båda kvadraters areor kan vi också teckna ett uttryck för den sökta skillnaden.

Vi börjar med den stora kvadratens area, som vi beräknar med hjälp av kvadreringsreglerna:

$${A}_{stor}=(x+y)^{2}\,{cm}^{2}=({x}^{2}+2xy+{y}^{2})\,{cm}^{2}$$

Sedan beräknar vi den mindre kvadratens area:

$${A}_{liten}=x^{2}\,{cm}^{2}$$

Nu kan vi beräkna den sökta skillnaden mellan de två kvadraternas areor:

$${A}_{stor}-{A}_{liten}=({x}^{2}+2xy+{y}^{2})\,{cm}^{2}-x^{2}\,{cm}^{2}=$$

$$=(2xy+{y}^{2})\,{cm}^{2}$$

Rätt svarsalternativ är därför B ((2xy + y²) cm²).