Kvantitativa jämförelser
13.
Kvantitet I: \(\frac{707}{70}\)
Kvantitet II: \(\frac{808}{80}\)
- I är större än II
- II är större än I
- I är lika med II
- informationen är otillräcklig
\( \frac{707}{70} = \frac{7 \cdot 101}{7\cdot 10} = \frac{101}{10}= 10,1 \)
\( \frac{808}{80} = \frac{8 \cdot 101}{8\cdot 10} = \frac{101}{10}= 10,1 \)
Svar: C
14. De fyra punkterna A, B, C och D är placerade i samma koordinatsystem.
A = (0, 0)
B = (4, 3)
C = (8, 0)
D = (8, 1)
Kvantitet I: Den sammanlagda längden av sträckorna AB och BC
Kvantitet II: Längden av sträckan AD
- I är större än II
- II är större än I
- I är lika med II
- informationen är otillräcklig
Sträckan AB utgör hypotenusan i triangeln med hörn i (0,0), (4,0) samt (4,3). Triangelns katetrar har då längderna 4 -0 = 4 och 3 - 0 = 3. Vi använder Pythagoras sats för att bestämma längden AB som
\( AB = \sqrt{ 4^2 + 3^2}=5 \)
Sträckan BC utgör hypotenusan i triangeln med hörn i (4,3), (4,0) samt (8,0). Triangelns katetrar har då längderna 8 -4 = 4 och 3 - 0 = 3. Vi använder Pythagoras sats för att bestämma längden BC som
\( BC = \sqrt{ 3^2 + 4^2}=5 \)
Kvantitet I är alltså AB + BC = 10
Sträckan AD utgör hypotenusan i triangeln med hörn i (0,0), (8,0) samt (8,1). Triangelns katetrar har då längderna 8 -0 = 8 och 1 - 0 = 1. Vi använder Pythagoras sats för att bestämma längden AD som
\( AD = \sqrt{ 8^2 + 1^2}=\sqrt{65} \)
Roten ur 65 är något större än 8 (då \( 8^2 = 64 \)) men mindre än 9 (då \( 9^2 = 81 \)). Vi kan alltså sluta oss till att längden AD är något mindre än summan av AB och BC.
Svar: A
15.
Kvantitet I: Volymen av en cylinder med höjden 5 cm och radien 2 cm
Kvantitet II: Volymen av en cylinder med höjden 2 cm och radien 5 cm
- I är större än II
- II är större än I
- I är lika med II
- informationen är otillräcklig
Volymen av en cirkel beräknas som \(V = \pi r^2 h\), där r betecknar radien och h betecknar höjden.
Vi kan alltså räkna ut kvantitet I som \( V =\pi 2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = \pi 20 \text{cm}^3 \)
Vi räknar ut kvantitet II som \( V =\pi 5^2 \cdot 2 = 25 \cdot 2 = \pi 50 \text{cm}^3 \)
Följaktligen är kvantitet II större än kvantitet I.
Svar: B
16. \( \frac{x}{3} - \frac{1}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \)
Kvantitet I: x
Kvantitet II: 2
- I är större än II
- II är större än I
- I är lika med II
- informationen är otillräcklig
x/3 - 1/5 = 1/3 + 1/5
5x/3 - 3/5 = 5/3 + 3/5
(5x-3) / 15 = (5+3) / 15
5x - 3 = 8
x = 11/2 = 2,2
Vi alltså att kvantitet I är större än kvantitet II.
Svar: A
17. 3 < p < 5
Kvantitet I: \(p^2\)
Kvantitet II: \( 42p \)
- I är större än II
- II är större än I
- I är lika med II
- informationen är otillräcklig
Vi kan titta på de bägge ändpunkterna för att se hur de olika kvantiteterna ser ut.
För kvantitet I: \(p = 3 \Rightarrow 27 \) \(p = 5 \Rightarrow 125 \)
För kvantitet II: \(p = 3 \Rightarrow 126 \) \(p = 5 \Rightarrow 210 \)
Då både kvantitet I och II är så kallat monotont ökande för alla positiva tal (det innebär att ju större tal som stoppas in, desto större blir svaret), kan vi känna oss säkra på att om kvantitet II är större för det minsta värdet (3) och det största värdet (5), måste det också vara större för alla tal däremellan.
Svar: B
18. En påse innehåller endast 9 enfärgade kulor: 5 röda och 4 blå. Albin plockar slumpmässigt två kulor ur påsen. Han plockar dem en och en utan att lägga tillbaka dem.
Kvantitet I: Sannolikheten att Albin först plockar en röd kula och sedan en blå kula
Kvantitet II: Sannolikheten att Albin först plockar en röd kula och sedan ytterligare en röd kula
- I är större än II
- II är större än I
- I är lika med II
- informationen är otillräcklig
Först är sannolikheten störst att Albin plockar en röd kula och nästa gång han plockar är det lika stor chans att han plockar en röd som en blå då det är 4 blå och 4 röda så är det lika stor chans att han plockar röd som blå kula.
Svar:C
19. \( 36^\frac{1}{3} = 6^{2x} \)
Kvantitet I: x
Kvantitet II: \( \frac{2}{5} \)
- I är större än II
- II är större än I
- I är lika med II
- informationen är otillräcklig
\( 36^{1/3} = 6^{2x} \Leftrightarrow 6^{2/3} = 6^{2x} \Leftrightarrow 2x = 2/3 \leftrightarrow x= 1/3 \)
Svar: B
20. Summan av fem på varandra följande heltal är 15.
Kvantitet I: Skillnaden mellan det största och det minsta talet
Kvantitet II: 5
- I är större än II
- II är större än I
- I är lika med II
- informationen är otillräcklig
Då det är summan av 5 på varandra följande heltal som ska vara lika med 15 så är det 1+2+3+4+5=15
5-1 = 4
Svar:B
21. n är ett heltal sådant att \(-10 \leq n \leq 10 \)
Kvantitet I: \(10^n\)
Kvantitet II: \( n^{10} \)
- I är större än II
- II är större än I
- I är lika med II
- informationen är otillräcklig
Om n = 10 så är både I och II = \(10^{10}\) Om n= 0 så är I= \(10^{0}\) = 1 och II \(0^{10}\) = 0. Men vi vet inte vad n är lika med. Därför är informationen otillräcklig
Svar: D
22. R är en rektangel. x > a
Kvantitet I: Arean av R om a = 0
Kvantitet II: Arean av R om a > 0
- I är större än II
- II är större än I
- I är lika med II
- informationen är otillräcklig
Ytan av en rektangel \(R = (x+a)(x-a) = x^2 - a^2 \)
I: Om a= 0 så är R = x^2II: Om a>0 så är \( R = x^2 - a^2 \) som alltid är mindre än \(x^2\)
Så I är större än II
Svar: A