Uppgift 24

I en bakteriekultur ökar antalet bakterier med lika stor andel per tidsenhet. Hur många gånger fördubblas antalet bakterier i kulturen på 1 timme?

(1) Tillväxten av antalet bakterier är 3,5 procent i minuten.
(2) Efter 20 minuter har antalet bakterier fördubblats.

Tillräcklig information för lösningen erhålls

1. i (1) men ej i (2)
2. i (2) men ej i (1)
3. i (1) tillsammans med (2)
4. i (1) och (2) var för sig
5. ej genom de båda påståendena

Lösning

Vi vet att bakteriernas tillväxt följer en exponentialfunktion på formen

$$\\N=N_{0}\cdot 2^{kt}\\$$

1. Försök lösa uppgiften med informationen från uppgiftslydelsen och påståendet (1).

Vi antar att t = 1min

En tillväxt med 3,5 procent/min ger följande

$$\\N(1)=N_{0}\cdot 2^{k\cdot1}=1,035N_{0}\\$$

Vi kan härifrån lösa ut k och följaktligen få veta hur många gånger större N är än N₀ vid t = 60.

$$\\N_{0}\cdot 2^{k\cdot1}=1,035N_{0}\\\\2^{k}=1,035\\lg\,(2^{k})=lg\,1,035\\k\cdot lg\,2=lg\,1,035\\\\k=\frac{lg\,1,035}{lg\,2}\approx 0,05\\$$

Och vi får då N(60) till

$$\\N(60)=N_{0}\cdot2^{0,05\cdot60}\approx 8N_{0}\\$$

Med andra ord så ökar antalet bakterier 8 gånger under den timmen eller fördubblas 3 gånger.

Slutsats: Tillräcklig information för lösning av uppgiften fås av enbart (1).

2. Försök lösa uppgiften med informationen från uppgiftslydelsen och påståendet (2).

Vi antar att t = 20min

Vi vet att antalet bakterier i kulturen fördubblas var 20 min vilket ger

$$\\N(20)=N_{0}\cdot 2^{k\cdot20}=2^{20k}N_{0}\\$$

Härifrån kan vi precis som ovanför beräkna k och sedan ta reda på hur många gånger större än N är än N₀ vid t = 60 min (1 timme).

$$\\N_{0}\cdot 2^{k\cdot20}=2^{20k}N_{0}\\\\2^{20k}=2\\lg\;2^{20k}=lg\;2\\20k\cdot lg\;2=lg\;2\\k=\frac{1}{20}\\$$

Och vi får då N(60) till

$$\\N(60)=N_{0}\cdot2^{60\cdot\frac{1}{20}}=2^3N_{0}=8N_{0}\\$$

Med andra ord så ökar antalet bakterier 8 gånger under den timmen eller fördubblas 3 gånger.

Slutsats: Tillräcklig information för lösning av uppgiften fås av enbart (2).

Då vi kan lösa uppgiften i båda (1) och (2) var för sig så får vi svaret till alternativ D.