Matematisk problemlösning
1. Medelvärdet av de fem talen 1, 2, 5, 7 och x är 7. Vad är x?
A. 13
B. 14
C. 18
D. 20
Eftersom det är medelvärdet kan vi ställa upp en ekvation genom att addera 1,2,5,7,x och dela med 5 sätt lika med 7, då ser det ut så här:
$$\frac{1+2+5+7+x}{5}=7$$
$$15+x=35$$
$$x=20$$
Svar: Alternativ D
2. Elsa samlar på klistermärken. Hon börjar med 10 klistermärken och utökar sin samling med tre klistermärken varje dag. K är antalet klistermärken som Elsa har, och t är antalet dagar som gått sedan hon började samla. Vilket svarsalternativ anger K som en funktion av t?
A. K(t) = 3t + 10
B. K(t) = 3(t + 10)
C. K(t) = 10t + 3
D. K(t) = 10(t + 3)
Vi behöver en linjär funktion, på formen kx+m, k-värdet måste vara 3, eftersom det ökar med 3 klistermärken per dag. Från början är det 10 klistermärken, därför blir detta m-värdet. Vår funktion blir därför: K(t)=3t+10
Svar: A
3. Vilket värde har uttrycket \(\frac{\frac{2}{x}}{ \frac{1}{x} + \frac{x}{ x-1}}\) om x = 2?
A. \(-2\)
B. \(\frac{2}{5}\)
C. \(1\)
D. \(\frac{5}{2}\)
Vi börjar med att byta ut x mot 2, då får vi:
$$\frac{\frac{2}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{2}{1}}$$
nästa steg är att vi vill kunna addera ihop allt i nämnaren och gör därför en gemensam nämnare.
$$\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{4}{2}}=$$
$$= \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}$$
Svar: B
4. \(a + 2b = b\)
Vilket svarsalternativ motsvarar \(a - b\)?
A. \(0\)
B. \(-b\)
C. \(-2b\)
D. \(-3b\)
Vi har \(a+2b=b\) men vill veta vad \(a-b\) motsvarar, vi börjar med att subtrahera b på båda sidor av ekvationen och får då
$$a+b=0 $$
$$a=-b$$
Nu kan vi sätta in att \(a=-b\) i uttrycket \(a-b = -2b\)
Svar: C
5.Ett tåg startar från någon av stationerna P, Q, R eller S. När tåget stannar vid station T har det färdats i 6 timmar med medelhastigheten 90 km/h. Från vilken station startade tåget?
A. P
B. Q
C. R
D. S
Vi börjar med att räkna ut sträckan tåget färdats genom att multiplicera tiden med hastigheten,
90 km/h · 6h=540 km
Vi undersöker de olika vägarna till T:
Q ->T =155+295 = 450 km
P ->T = 245+295=540 km, vilket var sträckan tåget färdats, alltså start från P
Svar: Alternativ A.
6. Vilket av svarsalternativen är en punkt som ligger mellan de båda
linjerna \(y = x + 2\) och \(y = x - 2\)?
A. (3, -3)
B. (3, 0)
C. (0, -3)
D. (3, 3)
Linjerna \(y=x+2\) och \(y=x-2\) har båda riktningskoefficienten k=1 och är parallella. Vi ritar upp linjerna och drar vi en linje \(y=x\), som ligger mitt emellan linjerna.
Nu ser vi att den går genom punkten (3,3) och ligger mitt emellan linjerna.
Svar: D
7. En kvadrat har lika stor area som en cirkel med radien 2 cm. Vilken sidlängd har kvadraten?
A. \(\sqrt{2\pi}\) cm
B. \(2 \sqrt{\pi}\) cm
C. \( \pi \sqrt{2}\) cm
D. \(2 \pi \) cm
Arean på cirkeln \(A_c = \pi r^2 = \pi(2^2) = 4\pi\)
Arean på kvadraten \(A_k = x\cdot x = 4 \pi \)
$$x^2=4 \pi$$
$$x=\sqrt{4\pi}=2 \sqrt{\pi}$$
Svar:B
8.Vilket av svarsalternativen är lika med uttrycket \( xy + x(b - y) + y(a - x) + (a - x)(b - y)\)?
A. \(ab\)
B. \(xy + ay + bx \)
C. \(ab + xy \)
D. \(ab + bx + ay - 2xy\)
Vi börjar utveckla uttrycket \( xy + x(b - y) + y(a - x) + (a - x)(b - y)\) och får då
$$ xy+bx-xy+ay-xy+ab-ay-bx+xy = ab $$
Svar: A
9. Vilket svarsalternativ är lika med uttrycket \(10 \cdot \frac{3-x}{15} + \frac{5x}{3}\)?
A. \(\frac{10+ 8x }{5}\)
B. \(2 - x\)
C. \(2 + x\)
D. \(2 + 8x\)
Multiplicera in 10 i första termen och
Förläng andra termens täljare och nämnare med 5 för att få 15 som gemensam nämnare:
$$\frac{30-10x}{15} + \frac{25x}{15} =$$
$$ \frac{30+15x}{15} = 2+x$$
Svar:C
10.
Vilket svarsalternativ är lika med \( (2\sqrt{ 3}+ 3 \sqrt{3})( 4 \sqrt{3}- \sqrt{3})\) ?
A. \(15\)
B. \(15 \sqrt{3}\)
C. \(45\)
D. \(135\)
$$(2\sqrt{3}+3\sqrt{3})(4\sqrt{3}-\sqrt{3})=(5\sqrt{3})(3\sqrt{3})=$$
$$=5\cdot 3\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=5 \cdot 3\cdot 3=45$$
Svar:C
11.
Vilket värde har x?
A. \(1\)
B. \(\frac{2}{ \sqrt{3}}\)
C. \( \sqrt{\frac{3} {2}}\)
D. \(\sqrt{2}\)
Vi kallar vågräta linjen y
Vi börjar med att använda Pythagoras sats för övre triangeln:
$$x^2 + x^2 = y^2$$
$$2(x^2) = y^2 \, (1)$$
Sedan gör vi detsamma, använder Pythagoras sats för undre triangeln:
$$x^2 + y^2 = 3$$
$$y^2 = 3 - x^2\, (2)$$
Vi kombinerar nu ekvationerna \( (1) \) och \( (2) \). Vi sätter in \( (2) \) och \( (1) \) lika med varandra eftersom de båda var lika med \(y^2\):
$$2 (x^2) = 3-x^2$$
$$2(x^2) + x^2 =3$$
$$3(x^2)=3$$
$$x=1$$
Svar: A
12. Vilket svarsalternativ är lika med 20 procent av \(10^{10}\)?
A. \(2^{10}\)
B. \(2·10^9\)
C. \(10^2\)
D. \(20^9\)
För att få ut 20% (som betyder 20 hundradelar) av \(10^{10}\) multiplicerar vi med 20 och delar med 100
$$\frac{20 \cdot 10^{10}}{100}=$$
$$=0,2 \cdot (10^{10}) = 0,2 \cdot 10 \cdot 10^9 = 2 \cdot 10^9 $$
Svar: B