Uppgift 26
Summan av de positiva heltalen x och y är 55. Vad är xy?
(1) x = y + 3
(2) x och y har samma tiotalssiffra
Tillräcklig information för lösningen erhålls
A i (1) men ej i (2)
B i (2) men ej i (1)
C i (1) tillsammans med (2)
D i (1) och (2) var för sig
E ej genom de båda påståendena
Lösningsförslag:
Om vi skriver summan av x och y är 55 som en ekvation får vi
$$x+y=55$$
vilket är lite mer överskådligt.
Tillsammans med ekvationen i (1) får vi följande ekvationssystem:
$$\begin{cases} x+y=55 \\ x=y+3 \end{cases}$$
Vi har alltså två ekvationer som på olika sätt beskriver sambandet mellan två okända variabler vilket betyderatt vi kommer kunna räkna ut värdet på x och y, och därför även värdet på xy. Om det känns abstract att resonera sig fram till att vi har tillräckligt med information går det även att försöka ta reda på värdet på x eller y. Vi kan till exempel använda oss av substitutionsmetoden; eftersom vi vet att x = y + 3 så kan vi sätta in y + 3 i den andra ekvationen istället för x:
$$(y+3)+y=55$$
$$2y=55-3$$
$$y=\frac{52}{2}=26$$
Om vi vet y kan vi ta reda på x vilket betyder att vi även kan ta reda på xy.
(2) har inte ett uppenbart svar utan vi får pröva oss fram. Tiotalssiffran kan inte vara 1 eftersom det största tal vi skulle kunna få då är om både x och y är 19 vilket skulle ge x + y = 38 vilket inte stämmer. På samma sätt kan tiotalssiffran inte vara 3 eftersom det skulle ge x + y = 60 som minsta möjliga värde. Alltså måste tiotalssiffran vara 2. Vidare så måste x och y båda vara större än 25 eftersom 55 - 25 = 30 och 30 inte har 2 som tiotalssiffra. De positiva heltal med samma tiotalssiffra som har summan 55 är 26 och 29 samt 27 och 28.
$$26\cdot 29 \neq 27\cdot 28$$
vilket betyder att vi inte kan veta vad xy är utifrån informationen i (2). Det betyder att rätt svar är alternativ A.