Uppgift 4

Kurvan y = x$^2$ + x - 6 skär x-axeln i två punkter. Vilka x-värden har dessa punkter?

A   x = 3 och x = 2
B   x = 3 och x = -2
C   x = -3 och x = 2
D   x = -3 och x = -2

---

Att en kurvan skär x-axeln vid ett visst x-värde innebär att y-värdet i denna punkt är lika med noll. Vi vet från uppgiftstexten att den givna kurvan har två sådana punkter.

Alltså ska följande gälla för två olika värden på x:

$$y(x)={x}^{2}+x-6=0$$

Vi kan lösa detta problem antingen genom att lösa andragradsekvationen till exempel med hjälp av pq-formeln eller kvadratkomplettering eller också genom att pröva de givna x-värdena.

Löser vi uppgiften med hjälp av pq-formeln så börjar vi med att identifiera p-värdet och q-värdet i andragradsekvationen

$${x}^{2}+x-6=0$$

Vi ser direkt att p = 1 och q = -6. Genom insättning av dessa värden i pq-formeln får vi följande:

$$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}=$$

$$=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}-(-6)}=$$

$$=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+6}=$$

$$=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}}=$$

$$=-\frac{1}{2}\pm\frac{5}{2}$$

Detta ger oss de båda x-värdena x₁ = 2 och x₂ = -3.

Rätt svarsalternativ är därför C (x = -3 och x = 2).

 

Eftersom de möjliga x-värdena är givna som svarsalternativ går det också bra att pröva sig fram till rätt svar.

I så fall kan vi börja med att beräkna funktionsvärdet då x = 3 och efter det då x = 2. Eftersom vi söker x-värden som ska leda till att y blir lika med noll, kan vi på detta sätt utesluta svarsalternativ till dess att bara ett svarsalternativ återstår.

Vi börjar med x = 3:

 

$$y(3)={3}^{2}+3-6=9+3-6=6\neq 0$$

Funktionsvärdet blev inte lika med noll. Därför kan vi utesluta svarsalternativen A och B, och konstantera att ett av de sökta x-värdena måste vara x = -3.

Härnäst prövar vi om x = 2 resulterar i funktionsvärdet noll.

 

$$y(2)={2}^{2}+2-6=4+2-6=0$$

Det andra sökta x-värdet var alltså x = 2. Därmed vet vi de båda sökta x-värdena: x = -3 och x = 2.

Rätt svarsalternativ är därför C (x = -3 och x = 2).