Matematisk problemlösning
1. \( 12x - 54 =6x + 18\)
Vad är x?
- -6
- -2
- 4
- 12
$$12x-6x=54+18$$ $$6x=72$$ $$x=12$$
Svar: D
2. \(\sqrt{3} x = 6\)
Vilket värde har x?
- \(\sqrt{2}\)
- \(3\sqrt{2}\)
- \(2\sqrt{3}\)
- 4
Kvadrera höger och vänster led, ger $$3x^2=36$$ $$x^2=\frac{36}{3}$$ $$x^2=12$$ $$x^2=3\cdot 4$$ $$x= \sqrt{3\cdot 4}$$ $$x=2\sqrt{3}$$
Svar:C
3. \(x>0\)
Hur många procent av \(x\) är \(\frac{x}{15}+\frac{x}{30}\)
- 4,5
- 10
- 15
- 22,5
\(\frac{x}{15}+\frac{x}{15}\) gemensam nämnare ger
$$\frac{2x}{30}+\frac{x}{30}=\frac{3x}{30}=$$ $$=\frac{x}{10}=\frac{10}{100}x = 10\% \;\text{av}\; x$$
Svar: B
4.
Tre linjer skär varandra i samma punkt. Vad är x?
- \(15^{\circ}\)
- \(20^{\circ}\)
- \(25^{\circ}\)
- \(30^{\circ}\)
Vertikalvinklar är lika stora vilket innebär att vinklarna mittemot är lika stora. Alla vinklar tillsammans ska bli 360 grader $$2(3x+30)+2(x+10)+2(2x+20)=360$$ $$6x+60+2x+20+4x+40=360$$ $$12x+120=360$$ $$12x=360-120$$ $$12x=240$$ $$x=20$$
Svar: B
5. Vilket svarsalternativ är korrekt?
- \(\frac{3}{4} < \frac{7}{8} < \frac{25}{32}\)
- \(\frac{3}{4} < \frac{13}{16} < \frac{25}{32} \)
- \(\frac{3}{4} < \frac{7}{8} < \frac{13}{16} \)
- \(\frac{3}{4} < \frac{25}{32} < \frac{13}{16}\)
Gör nämnarna lika, till 32
A: \(\frac{3\cdot 8}{4\cdot 8} < \frac{7\cdot 4}{8\cdot 4} < \frac{25}{32}\), stämmer ej då mittentermen blir \(\frac{28}{32}\)
B: \(\frac{3\cdot 8}{4\cdot 8} < \frac{13\cdot 2}{16\cdot 2} < \frac{25}{32} \), stämmer ej då mittentermen blir \(\frac{26}{32}\)
Nämnare till 16 på C
C: \(\frac{3\cdot 4}{4\cdot 4} < \frac{7\cdot 2}{8\cdot 2} < \frac{13}{16} \), stämmer ej då mittentermen blir \(\frac{14}{16}\)
Nämnare till 32 på D
D: \(\frac{3\cdot 8}{4\cdot 8} < \frac{25}{32} < \frac{13\cdot 2}{16\cdot 2} \Leftrightarrow \frac{24}{32}<\frac{25}{32}<\frac{26}{32}\) OK
Svar: D
6. \begin{align} f(x) &= 2x-4 \\ g(x) &= -\frac{1}{2}\cdot f(x) \end{align}
Vilket svarsalternativ visar grafen till funktionen g?
$$g(x)=-\frac{1}{2}\cdot (2x-4)=-x+2$$ Linjen g skär y-axeln vid 2 och har lutningen -1.
Svar: D
7. En kvadrat har sidan \(s\) cm och diagonalen \(d\) cm. Om \(2s^2 + d^2 = 64\), vilket värde har då \(s\)?
- 2
- 4
- 8
- 16
Om vi använder Pythagoras satsen i en kvadrat, så får vi att $$d^2 = s^2 + s^2$$ $$2s^2 + d^2 = 2s^2 + 2s^2 = 4s^2 = 64$$ $$4s^2 = 64$$ $$s^2 = 16$$ $$s=\pm 4$$
Svar: B
8. Vilket svarsalternativ motsvarar \(\frac{3(x+y)-5(y-x)}{2}\)?
- \(x-2y\)
- \(4x-4y\)
- \(4x-y\)
- \(8x-2y\)
$$\frac{3(x+y)-5(y-x)}{2}=\frac{8x-2y}{2}=4x-y$$
Svar: C
9. \(x-y=7\)
Vilket av svarsalternativen är med säkerhet korrekt?
- Om x är negativt, så är y negativt.
- Om x är positivt, så är y positivt.
- Om y är negativt, så är x positivt.
- Om y är positivt, så är x negativt.
Om \(x\) är negativt och man subtraherar ett positivt tal från det, då blir resultatet negativt. Därför, för att få som resultat ett positivt tal (7) måste man subtrahera ett negativt tal, alltså \(y\) är säkert negativt.
Svar: A
10. Punkten \((a, 2a)\) ligger på linjen som ges av ekvationen \(y=3x-60). Vilket värde har \(a\)?
- 12
- 15
- 30
- 60
Om vi stoppar in koordinaterna \((a, 2a)\) i linjens ekvation, så får vi \(2a = 3a - 60\). Subtrahera \(2a\) från båda led: $$0 = a - 60 \Rightarrow a = 60$$
Svar: D
11. Ritva har sex bollar som hon fördelar slumpmässigt i tre tomma lådor. Hur stor är sannolikheten att exakt en låda innehåller ett udda antal bollar när Ritva är klar?
- 0
- \(\frac{1}{3}\)
- \(\frac{2}{3}\)
- 1
Antalet bollar är jämnt. Om man subtraherar ett udda tal från det, så får man ett udda tal kvar. Men ett udda tal kan bara fås genom att addera ett udda tal med ett jämnt tal, så om vi hade 1 låda med ett udda antal bollar, då skulle vi faktiskt ha 2 lådar med udda antal. Det är omöjligt att ha bara en, alltså sannolikheten är 0.
Svar: A
12. Vilken av följande produkter är lika med \(8^x\), för något heltal \(x\)?
- \(16 \cdot 16\)
- \(16 \cdot 32\)
- \(16 \cdot 16\)
- \(32 \cdot 64\)
$$16 \cdot 32 = 8 \cdot 2 \cdot 8 \cdot 4 = 8^3$$
Svar: B