Uppgift 10

Ladda ner provet från Mattebokens provbank här.

---

$\begin{align} (a+b)^2 & =25 \\ (a-b)^2 & =121 \end{align}$

Vilket värde har $ab$?

A. -55
B. -24
C. 24
D. 55

Lösningsförslag

För denna uppgift kommer vi ge två lösningsförslag. Det vi söker är produkten av talen $a$ och $b$.

Lösningsförslag 1:

Vi ser ekvationerna som ett ekvationsystem som vi ska lösa med hjälpa av additionsmetoden.

$$\begin{cases} (a+b)^2 =25 \\ (a-b)^2 =121 \end{cases}$$

$$\implies$$

$$\begin{cases} a+b =5 \\ a-b =11 \end{cases}$$

Nu lägger vi ihop ekvationerna med hjälp av additionsmetoden och får följande ekvation:

$$\begin{align}(a+b)+(a-b)&=5+11 \\ 2a&=16\\ a&=8 \end{align}$$

Nu kan vi enkelt lösa ut $b$ genom att sätta in värdet på $a$ i en av ekvationerna från ekvationssystemet, vi väljer den första ekvationen:

$$8+b=5 \implies b=-3$$

Produkten av $a=8$ och $b=-3$ blir: $8\cdot (-3)=-24$. Svaret är alltså B.

Lösningsförslag 2:

I denna lösning kommer vi förlänga vänsterleden med hjälpa av kvadreringsreglerna, och sedan lösa dessa ekvationer som ett ekvationssystem med samma metod som ovan. Detta för att undvika att beräkna $a$ och $b$ enskilt.

Kvadreringsreglerna ger:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Vi har nu ekvationssystemet:

$$\begin{cases} a^2+2ab+b^2 = 25 \\ a^2-2ab+b^2=121 \end{cases}$$

Nu subtraherar vi ekvation 2 med ekvation 1.

$$\begin{align}(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2) & =25-121 \\ a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2 & = -96 \\ 4ab & = -96 \\ ab &= - \frac{96}{4} \\ ab &= -24 \end{align}$$

Produkten är -24 och rätt svar är B.

Svar: B

Uppgiften är hämtad ur Högskoleprovets kvantitativa del höstterminen 2017, Provpass 3 - Ladda ner provet här.