Uppgift 12

Arean av en cirkel är 16 cm$^2$ större än arean av en kvadrat med sidan 3 cm. Vad är cirkelns radie?

A   $\frac{5}{\pi}$ cm

B   $\frac{5}{\sqrt{\pi}}$ cm

C   $\frac{\sqrt{5}}{\pi}$ cm

D   $\sqrt{\frac{5}{\pi}}$ cm

I den här uppgiften ska vi ta reda på en cirkels radie, som vi betecknar r.

För att lösa uppgiften behöver vi veta hur vi beräknar arean av en cirkel respektive en kvadrat.

$${A}_{cirkel}=\pi\cdot{r}^{2}$$

$${A}_{kvadrat}={s}^{2}$$

Från uppgiftstexten vet vi att cirkelns area är 16 cm² större än kvadratens area. Detta samband kan vi skriva så här:

$${A}_{cirkel}={A}_{kvadrat}+16$$

Vi vet också att kvadraten har sidan 3 cm. Därför kan vi skriva sambandet så här:

$$\pi\cdot {r}^{2}={s}^{2}+16={3}^{2}+16=9+16=25$$

$$\pi\cdot {r}^{2}=25$$

Nu löser vi ut cirkelns radie, r. 

$$\frac{\pi\cdot {r}^{2}}{{\color{Red} \pi}}=\frac{25}{{\color{Red} \pi}}$$

$${r}^{2}=\frac{25}{\pi}$$

$$r=\sqrt{\frac{25}{\pi}}$$

Räkneregeln för division av kvadratrötter (LÄNK TILL SKOLÅR 9 > POTENSER OCH KVADRATRÖTTER > RÄKNA MED KVADRATRÖTTER) säger oss att vi kan skriva om det uttryck vi nu fick i det högra ledet, så här:

$$r=\sqrt{\frac{25}{\pi}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{\pi}}=\frac{5}{\sqrt{\pi}}$$

Detta är alltså cirkelns radie i cm.

Rätt svarsalternativ är därför B $\left ( \frac{5}{\sqrt{\pi}} \right )$.