Uppgift 27

En spelkula kastas slumpmässigt och landar på ett cirkulärt plant bord. På bordet finns en triangelformad duk vars hörn tangerar bordets kanter. Vad är sannolikheten att spelkulan landar utanför duken?

(1) Bordets radie är 20 cm och dukens area är 400 cm\(^2\).
(2) Dukens hypotenusa har samma längd som bordets diameter.

Tillräcklig information för lösningen erhålls

A   i (1) men ej i (2) 
B   i (2) men ej i (1) 
C   i (1) tillsammans med (2) 
D   i (1) och (2) var för sig 
E   ej genom de båda påståendena

---

Från uppgiftstexten vet vi att bordsytan har formen av en cirkel och att duken har formen av en triangel vars hörn ligger precis vid bordets kanter.

Att spelkulan kastas slumpmässigt tolkar vi som att det är lika troligt att den landar på vilken areaenhet som helst på bordsytan (det vill säga att sannolikheten att kulan landar på till exempel en viss kvadratcentimeter stor yta i mitten av bordet är lika stor som sannolikheten att den landar på en lika stor yta vid bordets kant).

Sannolikheten för att spelkulan landar på duken bör därför vara lika med den andel av bordsytan som täcks av duken, vilket vi kan skriva så här:

$$P(duk)=\frac{{A}_{duk}}{{A}_{bord}}$$

Men det är sannolikheten att spelkulan landar utanför duken (vilket vi tolkar som att den landar direkt på bordsytan) som det frågas efter i uppgiften. Denna sannolikhet är

$$P(bord)=1-P(duk)=1-\frac{{A}_{duk}}{{A}_{bord}}$$

Det här innebär att om vi kan beräkna förhållandet mellan dukens area och bordsytans area, då kan vi beräkna den sökta sannolikheten.

Duken är ju triangelformad, så dess area beräknar vi med formeln

$${A}_{duk}=\frac{b\cdot h}{2}$$

Bordsytan är cirkelformad, så dess area beräkna vi med formeln

$${A}_{bord}=\pi{r}^{2}$$

 

1. Vi försöker först lösa uppgiften utifrån enbart uppgiftstexten och påstående 1.

Från påstående 1 vet vi att bordets radie är 20 cm och att dukens area är 400 cm².

Eftersom vi nu vet bordets radie, r = 20 cm, kan vi beräkna bordsytans area med hjälp av formeln ovan.

Dukens area har vi redan fått, så den behöver vi inte ens räkna ut.

Därmed vet vi allt som vi behöver för att beräkna den sökta sannolikheten utifrån enbart uppgiftstexten och påstående 1.

 

2. Vi försöker sedan lösa uppgiften utifrån enbart uppgiftstexten och påstående 2.

Från påstående 2 vet vi att dukens hypotenusa har samma längd som bordets diameter (det vill säga 2 gånger bordets radie).

Det innebär att duken har formen av en rätvinklig triangel, vars bas är 2r och vars höjd h är okänd.

Sannolikheten för att spelkulan hamnar på bordet blir då

$$P(bord)=1-\frac{{A}_{duk}}{{A}_{bord}}=$$

$$=1-\frac{\frac{2r\cdot h}{2}}{\pi{r}^{2}}=$$

$$=1-\frac{h}{\pi r}$$

Eftersom denna sannolikhet beror på cirkelns radie och triangelns höjd kan vi inte lösa uppgiften enbart utifrån uppgiftstexten och påstående 2.

Rätt svarsalternativ är därför A (i (1) men ej i (2)).