Kvantitativa jämförelser

13. x > 0
y > 0

Kvantitet I: $(x - y)^2$
Kvantitet II: $(x + y)^2$

A I är större än II
B II är större än I
C I är lika med II
D informationen är otillräcklig

Vi utvecklar båda kvadraterna:
Kvantiet I: $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$
KvantietII: $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$

$x^2 + y^2$ lika i båda uttrycken. Eftersom x och y är positiva tal vet vi att $2xy>-2xy$ och därför är kvantitet II är större

Svar: B

14. x är ett positivt heltal.

Kvantitet I: $\frac{4·6·8}{ 8·x}$
Kvantitet II: $\frac{2·3·4}{ x}$

A I är större än II
B II är större än I
C I är lika med II
D informationen är otillräcklig

Förkorta kvantitet I med 8, vi får
$\frac{4 · 6 · 8}{8x} = \frac{6·4}{x} = \frac{24}{x}$
Kvantitet II är också
$\frac{2·3·4}{x} = \frac{24}{x}$
Alltså kvantitet I = kvantitet II.

Svar: C

15.
Kvantitet I: Längden av hypotenusan i en rätvinklig triangel där kateterna är 6 cm respektive 8 cm
Kvantitet II: Längden av hypotenusan i en rätvinklig triangel där båda kateterna är 7 cm

A I är större än II
B II är större än I
C I är lika med II
D informationen är otillräcklig

Vi kallar hypotenusan i kvantitet I för $a$ och i II för $b$ . Vi tillämpar Pythagoras sats
I: $a^2=8^2+6^2=64+36=100$
II: $b^2=7^2+7^2=49+49=98$
Vi kan direkt säga att kvantitet I>II

Svar: A

16.

Kvantitet I: $\sqrt{10^8}$
Kvantitet II: $10^\sqrt{8}$
A I är större än II

B II är större än I

C I är lika med II

D informationen är otillräcklig

Vi förenklar båda kvantiteterna.
Kvantitet I: $\sqrt{10^8}$ vi tillämpar potensregel som säger att roten ur är detsamma som upphöjt till en halv och att vi kan multiplicera potenserna:
$(10^8)^{\frac{1}{2}} = 10^4 = 10 ^{2·2}$
Kvantitet II: $10^{\sqrt{8}} = 10^{2 \sqrt{2}}$
Eftersom $2> \sqrt{2}$ får vi att kvantitet I>kvantitet II
Svar: A

17. I det tresiffriga talet x är entalssiffran dubbelt så stor som tiotalssiffran och fyra gånger så stor som hundratalssiffran.

Kvantitet I: Entalssiffran i talet x
Kvantitet II: 6

A I är större än II
B II är större än I
C I är lika med II
D informationen är otillräcklig

Vi kallar x = abc, där a är hundratalssiffran, b är tiotalssiffran och c entalssiffran. Vi vet att c=2b, c=4a; b=2a och då kan vi skriva om x som a(2a)4a, men om a=1, då blir III, alltså är det obestämbart, då vi inte har fått tillräcklig information
Svar: D

18.

Kvantitet I: Den positiva lösningen till ekvationen (x-3) (x+2) = 0
Kvantitet II: 2

A I är större än II
B II är större än I
C I är lika med II
D informationen är otillräcklig

Vi börjar att undersöka Kvantitet I: Vi behöver inte multiplicera ihop parenteserna utan kan undersöka dem var för sig eftersom deras produkt blir 0, alltså är x-3 = 0 eller x+2 = 0. Att x-3 = 0 ger oss att en lösning är när x = 3. På samma sätt får vi att om x+2 = 0 är en lösning x = -2, men det är enbart den positiva lösningen som efterfrågas, så Kvantitet I: x = 3 som är större än Kvantitet II: 2, rätt svar är alltså A.

Svar: A

19.

HP - april 2025 - pp5 kva - uppgift 19
Fyrhörningen ABCD är en rektangel. Sträckan DQ är längre än sträckan BP.

Kvantitet I: v
Kvantitet II: w

A I är större än II
B II är större än I
C I är lika med II
D informationen är otillräcklig

Diagonalerna ser parallella ut, men vi vet att DQ > BP. Vi kan rita upp ett mer överdrivet exempel där DQ är betydligt längre än BP och kommer då tydligt se att vinkeln v blir spetsigare medan vinkeln w blir trubbigare.
hp24_pp2_dtk_uppgift 33

Svar: B

20. $2x + 1 = 2(x+ \frac{1}{2})$

Kvantitet I: $x$
Kvantitet II: $-\frac{1}{2}$

A I är större än II
B II är större än I
C I är lika med II
D informationen är otillräcklig

Vi utvecklar ekvationen, och får då
$2x + 1 = 2x + 2·\frac{1}{2}$
$2x + 1 = 2x + 1$
eftersom det står samma sak i HL och VL kan vi förenkla detta till
$0 = 0$
Detta ger oss ingen information om värdet på x.

Svar: D

21. y ≠ 0
För räkneoperationen ♢ gäller att x♢ y = x/y

Kvantitet I: (1♢2 )♢3
Kvantitet II: 1/3

A I är större än II
B II är större än I
C I är lika med II
D informationen är otillräcklig

Vi undersöker Kvantitet I: (1♢2 )♢3 = ½ /3 = ½ · ⅓ = ⅙

En sjättedel är mindre än Kvantitet II: ⅓ som kan skrivas om som 2/6, eller så kan det illustreras med att en hel delats upp i 3 respektive 6 delar, då har den med 6 bitar mindre bitar än den som delats upp i 3.

Svar: B

22. Sidorna på ett mynt benämns krona och klave. Myntet kastas slumpmässigt tre gånger.

Kvantitet I: Sannolikheten att få klave minst en gång
Kvantitet II: 2/3

A I är större än II
B II är större än I
C I är lika med II
D informationen är otillräcklig

Vi undersöker Kvantitet I först genom att beräkna den sk komplementhändelsen, motsatta händelsen, till att få minst en klave, att enbart få krona alla tre gånger och det har sannolikheten $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$
Då har sannolikheten att få klave minst en gång $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Vi jämför med Kvantitet II: $\frac{2}{3}$ är mindre än Kvantitet I.

Svar: A

Har du en fråga du vill ställa om Provpass 5 - KVA? Ställ den på Pluggakuten.se

Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se